Hallo vovi,
wenn Du induktiv Beweisen möchtest, dann beweist Du im allgemeinen die Aussage für den "Startwert" und zeigst dann, dass aus der Richtigkeit der Formel für einen bestimmten Wert auch die Richtigkeit für diesen bestimmten Wert + 1 folgt. Dann kannst Du nämlich, wenn die Formel für den Startwert stimmt und sie auch jeweils für den nächstgrößeren Wert gilt, schlussfolgern, dass sie für alle Werte stimmt.
Deine Formel hängt von k ab. Das heißt, Du beweist in Abhängigkeit von k. So wie Deine Aufgabe gegeben ist, ist der Startwert k0 = 2.
Dafür stimmt aber, wenn ich nicht gerade vollkommen daneben liege, Deine Formel nicht (2/4 - 1 = -1/2 und 1 + 1/2 - 1/2 - 1/3 = 2/3). Schau noch einmal genau in die Aufgabenstellung, ob Du eventuell etwas falsch abgetippt hast.
Ansonsten würdest Du folgendermaßen vorgehen (k0 ist Startwert):
1. Schreibe \( \sum\limits_{n=2}^{k_0}{2/n^2 -1} \) aus und berechne die Summe
2. Schreibe 1 + \( \frac{1}{2} \) - \( \frac{1}{k_0} \) - \( \frac{1}{k_0+1} \) aus und berechne
3. Sind die beiden Werte gleich, dann ist die Formel offenbar für den Startwert richtig.
Jetzt der Beweis von k-1 zu k:
4. Prüfe, ob die Aussage auch für k gilt, indem Du die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für
\( \sum\limits_{n=2}^{k-1}{2/n^2 -1} \)
in
\( \sum\limits_{n=2}^{k}{2/n^2 -1} \) = \( \sum\limits_{n=2}^{k-1}{2/n^2 -1} \) + 1/k2 - 1
einsetzt und die Terme dann so "massierst", dass 1 + \( \frac{1}{2} \) - \( \frac{1}{k} \) - \( \frac{1}{k+1} \) rauskommt.
Alternativ kannst Du auch von k zu k+1 beweisen:
Prüfe, ob die Aussage auch für k+1 gilt, indem Du die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für
\( \sum\limits_{n=2}^{k}{2/n^2 -1} \)
in
\( \sum\limits_{n=2}^{k+1}{2/n^2 -1} \) = \( \sum\limits_{n=2}^{k}{2/n^2 -1} \) + 1/(k+1)2 - 1
einsetzt und die Terme dann so "massierst", dass 1 + \( \frac{1}{2} \) - \( \frac{1}{k+1} \) - \( \frac{1}{k+2} \) rauskommt.
Liebe Grüße
