Wie bestimmt man die Lösung von DGL?

Question

Aufgabe:

Für die folgende inhomogene Differentialgleichung muss die allgemeine Lösung bestimmt werden: λ`= λ - 1

Als homogene Lösung kommt hierbei λ(t)=B e^t und als partikuläre Lösung λ₀(t)= 1

Ich habe die Technik beim bestimmen einer Lösung nicht ganz verstanden und muss das auch nur für sehr einfache DGL können. woher kommt das Be^t und wie man bestimmt man die partikuläre Lösung ( wenn man sie nicht wie hier ablesen kann) mithilfe der Variation der Koeffizienten löst.

Problem/Ansatz:

Comments

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Answer 1

Hallo,

Falls die Aufgabe wirklich so lautet , kann diese einfacher über Trennung der Variablen gelöst werden.

λ= λ - 1


dλ/dt= λ - 1  | *dt

dλ = (λ - 1) *dt | :(λ - 1)


∫dλ /(λ - 1) =∫ dt


Mittels Variation der Konstanten :

λ= λ - 1

λ` -λ = 0 homogene DGL ->Tennung der Variablen

dλ/dt= λ

dλ/λ = dt

ln|λ| = t+c | e hoch

|λ| =e^( t +c) = e^t *e^c

λ = e^t * ±e^c         ----->±e^c = C1

λ_h =  C₁ *e^t

Setze C1 =C(t)

λp =  C(t) *e^t

λp'  =  C' (t) *e^t +C(t) e^t

-------->

Setze λp und λp' in due DGL ein.

das C(t) muß herausfallen

C(t)= .....

λp =  C(t) *e^t

λ =λh +λp