Hallo.
Folgende Aufgabe muss ich bewältigen, ich habe allerdings das Gefühl mich irgendwo grob verrechnet zu haben! Könnte bitte jemand netterweise schauen, ob ein Fehler zu finden ist?
Aufgabe:
Lösen Sie folgende Gleichung für x Element aus den reellen Zahlen:
$$ \text{ln}\sqrt[5]{x^4}=\dfrac{1}{10}+\text{ln}\left( \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\dfrac{3}{5}}\right)$$
Hier meine Lösung, wie gesagt, befürchte ich, dass mir irgendwo Fehler unterlaufen sind:
Zunächst habe ich mir die Gleichung erstmal gesplittet um beide Parts einzeln zu betrachten:
1.)
$$ \text{ln}\sqrt[5]{x^4}=\text{ln}\left(\left(x^4\right)^{\frac{1}{5}}\right)=\text{ln}\left(x^{\frac{4}{5}}\right)=\dfrac{4}{5}*\text{ln}(x) $$
2.)
$$ \dfrac{1}{10}+\text{ln}\left( \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\dfrac{3}{5}}\right)=\dfrac{1}{10}+\text{ln}\left(\left(x^{-1}\right)^{\dfrac{3}{5}}\right)\\=\dfrac{1}{10}+\text{ln}\left(x^{-1*\frac{3}{5}}\right)=\dfrac{1}{10}+\text{ln}\left(x^{\frac{-3}{5}}\right)=\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{5}*\text{ln}(x)$$
Also lautet die Gleichung:
$$\dfrac{4}{5}*\text{ln}(x)=\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{5}*\text{ln}(x)\\
\\
\Rightarrow \dfrac{7}{5}*\text{ln}(x)=\dfrac{1}{10}\\
\\
\Rightarrow \text{ln}(x)=\dfrac{1}{14}\\
\\
\Rightarrow x=e^{\frac{1}{14}} \\
\\
\\
\Rightarrow x=\sqrt[14]{e}
$$
Freue mich über jede Anmerkung und Korrektur!
Danke :)
