Quardrat Gleichungen Q P Formel

Question

Aufgabe:

^{x^2-12ax+11a^2=0}

^{Ich muss die q; p Formel anwenden aber ich verstehe trotzdem nicht wie man das alles ausrechnet.}

Answer 1

Aloha :)

Mit der pq-Formel sieht das so aus:$$x^2\,\underbrace{-12a}_{=p}\,x\,\underbrace{+11a^2}_{=q}=0$$$$x_{1;2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$$$x_{1;2}=-\frac{(-12a)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{(-12a)}{2}\right)^2-(11a^2)}=6a\pm\sqrt{\left(6a\right)^2-11a^2}$$$$\phantom{x_{1;2}}=6a\pm\sqrt{36a^2-11a^2}=6a\pm\sqrt{25a^2}=6a\pm5a$$Es gibt also 2 Lösungen:$$x_1=a\quad;\quad x_2=11a$$

Einfacher geht es vielleicht mit der quadratischen Ergänzung:$$\left.x^2-12a\cdot x+11a^2=0\quad\right|-11a^2$$$$\left.x^2-12a\cdot x=-11a^2\quad\right|+36a^2$$Die quadratische Ergänzung findest du, indem du den Wert vor dem \(x\) halbierst und quadrierst. Das Vorzeichen ist egal, weil es beim Quadrieren wegfällt. Die Hälfte von \(12a\) ist \(6a\). Das quadriert ist \(36a^2\). Nach Addition der quadratische Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung können wir eine binomische Formel anwenden.$$\left.x^2-12a\cdot x+36a^2=25a^2\quad\right|\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.(x-6a)^2=25a^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.x-6a=\pm5a\quad\right|+6a$$$$\left.x=6a\pm5a\quad\right.$$

Answer 2

p = -12a; q = 11a^2; einsetzen und ausrechnen.

Answer 3

Wenn die Formel nicht angewendet werden soll:

x^2-12ax+11a^2=0

x^2-12ax=-11a^2

(x-6a)^2=-11a^2+36a^2=25a^2

x₁=6a+5a=11a

x₂=6a-5a=a