Zeigen Sie, dass Eig (A; λ) ⊂ Kn ein Untervektorraum von Kn ist.

Question

Aufgabe:

Seien A ∈ Kn×n eine Matrix und λ ∈ K. Es sei

Eig(A;λ) = {v∈Kn : Av=λv}.
Zeigen Sie, dass Eig (A; λ) ⊂ Kn ein Untervektorraum von Kn ist.

Gleiche Frage von Bild umgewandelt:

(c) Seien \( A \in \mathbb{K}^{n \times n} \) eine Matrix und \( \lambda \in \mathbb{K} \). Es sei
\( \operatorname{Eig}(A ; \lambda)=\left\{v \in \mathbb{K}^{n}: A v=\lambda v\right\} \)
Zeigen Sie, dass Eig \( (A ; \lambda) \subset \mathbb{K}^{n} \) ein Untervektorraum von \( \mathbb{K}^{n} \) ist.

Problem/Ansatz:

Guten Morgen,

wie kann man bei dieser Frage zeigen, ob das ein Untervektorraum ist?

Ich bin sehr dankbar für jede Hilfe.

Liebe Grüße

Tabea

Answer 1

Unterraum zeigen wie immer:

Abgeschlossenheit gegenüber + und Multiplikation mit

Elementen des Grundkörpers.

Teilmenge von K^n ist wohl klar.

Sind u und v aus Eig(A;λ) dann gilt

A*u=λ*u  und A*v=λ*v

Und es gilt A( u+v) = A*u+A*v=λ*u +λ*v=λ*(u+v)

also u+v ∈  Eig(A;λ)

Und ist x∈K und v ∈  Eig(A;λ) dann gilt

A*(x*v) = x*A*v=x*λ*v = λ*(x*v) also

ist  x*v ∈  Eig(A;λ). q.e.d.