Ich kenne den Trick in dieser Form:
Du bringst die Matrix zuerst auf STRENGE Zeilenstufenform.Das heißt:
1. Die Matrix muss in Zeilenstufenform sein.
2. Das erste Element \( \neq 0 \) einer Zeile muss \( = 1 \) sein. Das erreichst du einfach, indem du die ganze Zeile durch die Zahl die vorher da stand teilst.
3. Über all diesen 1er muss eine 0 sein. Also von unten nach oben die Zeilen addieren/subtrahieren um diese Elemente da wegzubekommen.
Das wurde schon gemacht:
$$ A = \left( \begin{array}{ccccc|c} 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$
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Dann fügst du entweder Nullzeilen hinzu oder entfernst Nullzeilen, bis der vordere Koeffizienten-Teil quadratisch wird. Du musst also eine Nullzeile ergänzen:
$$ A = \left( \begin{array}{ccccc|c} 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$
Jetzt steht vor dem Strich eine 5x5 Matrix.
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Anschließend sortierst du die Zeilen so, dass die "Zeilenanfangs"-Einser auf der Diagonalen liegen. Also in deinem Fall:
$$ A = \left( \begin{array}{ccccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$
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Die Diagonaleinträge = 0 ersetzt du durch eine -1:
$$ A = \left( \begin{array}{ccccc|c} \color{red}{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{-1}& 0 \end{array} \right) $$
Die Spalten mir der -1 entsprechen den Basisvektoren des homogenen Lösungsraums.
In der letzten Spalte (also hinter dem Strich) steht eine spezielle Lösung.
