Extremwertaufgabe mithilfe der Lagrange Methode

Question

Hey

Ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Welcher Punkt p in der Ebene E={(x,y,z) Element R³|x+y-z=0} hat vom Punkt a=(1,0,0) der kleinsten Abstand?

Ich würde das ganze lösen indem ich g(x,y,z)=x+y-z=0 als Nebenbedingung setze und als Hauptbedingung

f(x,y,z)=\( \sqrt{x^2-2x+1+y^2+z^2} \). Mit der Lagrange-Methode wäre das jetzt super aufwendig wegen der Wurzel. Hat jemand Tipps wie ich das irgendwie vereinfachen kann?

Answer 1

Minimiere nicht den Abstand, sondern das Quadrat des Abstandes.

Dort wo das Quadrat des Abstandes minimal wird, wird auch der Abstand selber minimal.

Answer 2

Wenn das eine Übungsaufgabe zu Lagrange sein soll, ist dein Vorgehen akzeptabel.

Wenn es nur um die Lösung der Aufgabe an sich geht, ist Lagrange so ziemlich die schlechteste Wahl.

Kontrolllösung:

Eine Gerade durch (1|1|0), die senkrecht auf E steht, hat die Gleichung

\( \vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\)

Für den Schnittpunkt mit E gilt

(1+t)+(1+t)-(0-t)=0, also 2+3t=0 bzw. t=-2/3.

Den Ortsvektor des gesuchten nächstliegenden Punktes erhältst du also mit

\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} -\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\)