Beweis bei P-f.s.(fast sicher) und P Konvergenz

Question

Aufgabe:

Ich habe diesen Satz aus Stochastik mit seinem Beweis

Könnte mir jemand bitte ab " Wir schließen darauf, dass für ......" erklären? weil ich das nicht verstanden habe

:)

Answer 1

Das mit dem Borel-Cantelli sollte man sich nochmal hinschreiben. Die Aussage ist

$$ \mathbb P \left( \limsup \limits_{k \to \infty} A_k \right) = 0 $$

Und dabei ist $$ \limsup \limits_{k \to \infty} A_k = \{ \omega\in \Omega ~|~\omega \in A_k \text{ für unendlich viele } k\in\mathbb N^* \} $$

Betrachte davon mal das Komplement

$$ \left( \limsup \limits_{k \to \infty} A_k \right)^c = \{ \omega\in \Omega ~|~\omega \in A_k \text{ für \textbf{nur} endlich viele } k\in\mathbb N^* \} $$

Das hat ja Wahrscheinlichkeit 1-0 = 1:

$$ \mathbb P \left( \left( \limsup \limits_{k \to \infty} A_k\right)^c \right) = 1  $$

Heißt für \( \mathbb P \)-fast alle \( \omega \in \Omega \) (nämlich alle Elemente im Komplement) gilt \( \omega \in A_k \) für nur endliche viele natürliche Zahlen, d.h. \( \omega \notin A_k \) für alle bis auf endlich viele \( k \). Und

$$ \omega \notin A_k \iff |X_{n_k}(\omega) - X(\omega)| < 2^{-k+1} $$

Comments

Danke erstmal für deine Antwort

und wieso folgt aus \omega \notin A_k \iff |X_{n_k}(\omega) - X(\omega)| < 2^{-k+1}

ω∈/Ak⟺∣Xnk(ω)−X(ω)∣<2−k+1

dass das

\( X_{n_{k}}(\omega) \underset{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} X(\omega) \)

gilt.

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Es gilt ja:

\( 0 \le |X_{n_k}(\omega) - X(\omega)| < 2^{-k+1} \)

Das heißt der Betrag wird von unten und von oben durch eine Nullfolge eingeschnürt (https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz):

$$ \lim_{k\to \infty} 0 = 0, \quad \lim_{k\to \infty} 2^{-k+1} = 0 $$

Daraus kannst du mit verlinktem Satz sofort $$ \lim_{k\to \infty} |X_{n_k}(\omega) - X(\omega)| = 0 $$ folgern.

Die Äquivalenz $$ \lim_{k\to \infty} |X_{n_k}(\omega) - X(\omega)| = 0\iff \lim_{k\to \infty} X_{n_k}(\omega) = X(\omega) $$ sollte auch klar sein. Überlege dir dazu was links steht:

$$ \forall \varepsilon > 0 ~ \exists K \in \mathbb ~ \forall k \ge K~:\quad \left| |X_{n_k}(\omega) - X(\omega)| - 0 \right| < \varepsilon $$

Rechts:

$$ \forall \varepsilon > 0 ~ \exists K \in \mathbb ~ \forall k \ge K~:\quad |X_{n_k}(\omega) - X(\omega)| < \varepsilon $$

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Alles klar Danke für deine tolle Hilfe! :)
Ich habe mündliche Prüfung am Montag Der Dozent hat gesagt ich kann ein Satz/Beweis vom Stoff auswählen damit ich das vorstelle. Ich habe Lemma von Borel- Cantelli ausgewählt. Den Beweis habe ich sehr gut verstanden. Aber ich muss noch Sätze nennen, die durch Lemma von Borel- Cantelli angewendet werden ,und die Beweisideen vorstellen und wie wendet man Borel Cantelli in den Sätzen an.
Ein Satz davon ist der Satz von p-fs und P konvergenz (dieses Satz) :)
Wie meinst du wie soll ich das erklären?
:)

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Stochastik ist leider nicht wirklich mein Fachgebiet - und mündliche Prüfungen hatte ich auch noch keine, zudem kenne ich deinen Dozenten nicht...

In welcher Form du das also präsentieren sollst/kannst/muss kann ich dir leider nicht sagen. Die Beweise sind (leider) auch so kurz, dass man da mMn nicht mal wirklich viel weglassen kann. Du solltest sie also beide einfach reproduzieren können. Wo das Lemma von Borel-Cantelli in diesem Beweis eingeht ist auch klar.

Vielleicht ist das noch als FunFact interessant: https://de.wikipedia.org/wiki/Infinite-Monkey-Theorem. Es veranschaulicht die Aussage des Lemmas.

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Könntest du mir bitte da helfen bitte? Ich habe im Kommentar geschrieben was ich nicht verstanden habe..

https://www.mathelounge.de/809920/beweis-von-borel-cantelli?show=813941#c813941

Dank im Voraus! :)