Was ist jeweils die Menge der Häufungspunkte? Beweisen Sie Ihre Aussagen. Bsp. M2 = { m/2^n : m,n ∈ ℕ }

Question

Gegeben seien folgende Teilmengen von R:
M1 = { (−1)ⁿ + (-1/n)ⁿ⁺¹  :n ∈ ℕ }

M2 = { m/2ⁿ : m,n ∈ ℕ }

M3 = ℕ.

Was ist jeweils die Menge der Häufungspunkte? Beweisen Sie Ihre Aussagen.

Lag die Woche flach und hab wirklich gar keine Ahnung wie ich das Nachweisen kann.. 

Comments

hallo

ich habe das dazu gefunden.

http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Analysis:_Reelle_Zahlen:_Topologie

da ist auch M1 abgebildet, nur etwas ähnlich.

und zu |N steht auch etwas.

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M1 = { (−1)ⁿ + (-1/n)ⁿ⁺¹  :n ∈ ℕ }

-1 und 1 sind die Häufungspunkte, da in jeder Epsilon-umgebung ein weiteres (≠1 und ≠-1) Element von M gefunden werden kann.

M2 = { m/2ⁿ : m,n ∈ ℕ }
Hier musst du dir das selbst noch genau überlegen. 0 ist sicher ein Häufungspunkt von M2, da 1/2^n beliebig nahe an 0 kommt. Ich vermute, dass es noch einige weitere Häufungspunkte gibt, ...(?)
 

M3 = ℕ.
M3 enthält keine Häufungspunkte. Sobald Epsilon kleiner als 1, gibt es keine zusätzlichen Punkte mehr genug nahe bei n. (n beliebig und fest in N)