Häufungspunkte der komplexen Menge A = {i^n +2^{-m} : m,n ∈ ℕ} ⊆ ℂ

Question

Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Menge

A = {i^n +2^{-m} : m,n ∈ ℕ} ⊆ ℂ

Comments

Hast Du schon irgenwelche Vermutungen?

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i^n + 2^{-m} = i^n + 1/(2^m)

für ein festes m sollte die Menge dann 4 verschiedene Häufungspunkte besitzen, sehe ich das richtig?

somit denke ich das die Menge die Häufungspunkte :    i,-i,1,-1 besitzt jedoch bin ich mir extrem unsicher. Ist meine erste aufgabe zu Häufungspunkten einer Menge

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Für feste m besitzt die Menge sicher keine Häufungspunkte...

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meinte natürlich für feste n da 1/2^m dann gegen 0 geht

somit gäbe es 4 verschieden mögliche häufungspunkte?!

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Die Häufungspunkte von A bekommst Du, wenn Du m gegen Unendlich laufen lässt. Dann geht der zweite Summand gegen Null und die Häufungspunkte werden durch die vier möglichen Werte des ersten Summanden beschrieben. Es sind die von Dir angegebenen komplexen Zahlen. Sie gehören alle nicht der Menge A an.

Answer 1

M = {1, i, -1 , -i} sind mE die Häufungspunkte von A.

Beachte: Es gibt zwei verschiedene Definitionen von Häufungspunkten.

Folgen- ≠ Mengenhäufungspunkte https://de.wikipedia.org/wiki/Häufungspunkt#Folgenh.C3.A4ufungspunkte_und_Mengenh.C3.A4ufungspunkte

Hier: In jeder noch so kleinen Umgebung von den Elementen von M gibt es unendlich viele andere Elemente von A.