Näherungswert mit Hilfe des Taylorpolynoms bestimmen

Question

Wie löst man diese Aufgabe?

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f(x) = ln (1+ \( \frac{1}{2} \) x) . Ferner sei T₂(x) = \( \frac{1}{2} \) x−\( \frac{1}{8} \) x² das
Taylorpolynom zweiten Grades der Funktion f mit der Entwicklungsstelle x₀= 0.

5 Bestimmen Sie mit Hilfe des Taylorpolynoms T₂(x) einen Näherungswert für ln \( \frac{5}{4} \)  .
ln \( \frac{5}{4} \)  ≈

(Lösung ist ln von fünf viertel, bzw. 7 32tel)

Answer 1

Wähle \(x\) so, dass \(1+\tfrac12x=\tfrac54\) ist, also \(x=\tfrac12\). Dann ist \(T_2(\tfrac12)=\tfrac7{32}\) der gesuchte Näherungswert für \(f(\tfrac12)=\ln(\tfrac54)\).

Comments

Warum muss man die erste Funktion nur gleich 5 4tel setzen und nicht ln von 5 4tel?

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Du hast ein Taylorpolynom \(T_2(x)\) für die Funktion \(f(x)=\ln(1+\tfrac12x)\).
Wenn du damit eine Näherung für \(\ln(\tfrac54)\) berechnen möchtest,
wähle \(x={\color{red}\tfrac12}\), um \(\ln(\tfrac54)=\ln(1+\tfrac12\cdot{\color{red}\tfrac12})\approx T_2({\color{red}\tfrac12})\) zu erhalten.