Näherungswert 25^{1/3} unter Verwendung eines Taylorpolynoms mit Fehlerabschätzung

Question

Berechnen Sie einen Näherungswert für 25^{1/3} unter Verwendung eines Taylorpolynoms 2. Grades. Wählen Sie einen geeigneten Entwicklungspunkt und schätzen Sie den Fehler ab.

Ansatz/Problem:

Also mein Lösungsweg sieht so aus. Ich habe einfach mal den Entwicklungspunkt a=1 gewählt, da ich an dieser Stelle ja den Funktionswert kenne. Anschließend hab ich mir mal die Taylorreihe bis zum 2ten Grad aufgeschrieben. Womit Punkt 1 der Aufgabe ja gelöst ist, aber wie sieht das jetzt mit dem schätzen/berechnen des Fehlers aus? (kein Taschenrechner erlaubt)

Hab da nicht mal einen Ansatz.

\( \sqrt[3]{x} \approx 1+\frac{1}{3}(x-1) *-\frac{1}{9}(x-1)^{2} \)

Answer 1

Wähle \( f(x)=3\sqrt[3]{1-x} \).

Das Taylorpolynom zweiten Grades lautet \( T_2(x)=3-x-\frac13x^2 \).

Wähle nun \( x_0=\frac2{27} \).

Dann ist \( f(x_0)=\sqrt[3]{25}\approx2{,}9240177 \) sowie \( T_2(x_0)=\frac{6395}{2187}\approx2{,}9240969. \)

Das sind immerhin vier korrekte Ziffern nach dem Komma.