Zeigen Sie, dass die Funktion f(z):= ∑n=o bis unendlich ( z/(1-z))^n stetig ist

Question

a) beschreiben Sie in möglichst einfacher Weise die Menge D aller z element der komplexen zahlen mit z ≠ 1

für die die reihe ∑∞_n=0 (z/(1-z))ⁿ konvergiert.

Zu a) gibt's eine Lösung bei: Wie beschreibe ich die Menge D aller z € C, z ≠ 1 für die Reihe ∑∞n=0 (z/(1-z))ⁿ ?

b) Zeigen Sie dass die funktion f:D->C  mit f(z):= ∑∞_n=0 (z/(1-z))ⁿ stetig ist.

Comments

Benutze bei b), dass diese Summe für z in D als Grenzwert einer geometrischen Reihe den Wert

1/ (1 - (z/(1-z))    hat.

Answer 1

Ich benutze bei b), dass diese Summe für z in D als Grenzwert einer geometrischen Reihe den Wert

1/ (1 - (z/(1-z))    hat.

Da z≠1 mache ich folgende Umformung:

$$ \frac { 1 }{ 1-\frac { z }{ 1-z }  } =\quad \frac { 1 }{ \frac { 1-z-z }{ 1-z }  } =\frac { 1-z }{ 1-2z } $$

f(z) = (1- z)/(1-2z)  ist stetig in C \ {1/2}

Nach Aufgabe a) ist 1/2 nicht Element von D.

Also: f(z) = (1- z)/(1-2z)  ist stetig in D.