Aloha :)
Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix ist gleich dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das von ihren Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufgespannt wrid. Wenn dieses Volumen ungleich 0 ist, wird ein \(n\)-dimensionaler Raum aufgespannt und die Spalten- bzw. Zeilenvektoren sind linear unabhängig voneinander. Es reicht hier also aus, die Determinante zu prüfen:
$$\operatorname{det}(E-A)=\operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0\\-2 & 0 & -2\\-3 & 0 & 0 \end{array}\right)\right)=\left|\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0\\2 & 1 & 2\\3 & 0 & 1\end{array}\right|$$$$\phantom{\operatorname{det}(E-A)=}=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\2 & 3 & 2\\3 & 3 & 1\end{array}\right|=3\cdot1-3\cdot2=-3\ne0\quad\checkmark$$
Die Determinante ist also ungleich 0 und damit ist die Matrix \((E-A)\) invertierbar. Dass das Vorzeichen der Determinante negativ ist bedeutet, dass die Spalten- bzw. Zeilenvektoren ein Linkssystem und kein Rechtssystem bilden.
Eine invertierbare Matrix hat immer vollen Rang. Daher folgt insbesondere auch, dass der Rang der Matrix \((E-A)\) gleich 3 ist.
Bemerkung: Zur Berechnung der Determinante habe ich die erste Spalte zur zweiten Spalte addiert, um in der ersten Zeile 2 Nullen zu bekommen, sodass sich die Determinante leichter entwickeln lässt.
