bestimmen Sie die Basis und die Dimension.

Question

Aufgabe: Vektoren u1, u2, u3, u4 des R-Vektorraumes R5, sei U=LH{u1,u2,u3,u4},

bestimmen Sie die Basis und die Dimension.

u1=
1 
2 
-1 
1 
1

u2= 
2 
4 
-1 
0 
0

u3= 
3 
5 
-2 
0 
1

u4=
4 
7 
-2 
-1 
0

Ansatz:  \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 5 & 7 \\ -1 & -1 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Die habe ich umgeformt und zwei Nullzeilen erhalten. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4  \\ 0 & 1 & 1 & 2  \\ 0 & 0 & -1 & -1  \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{pmatrix}\)

Sind dann die Basis 3 Vektoren die linear unabhängig sind? Also zum Beispiel u1, u2, u3 bilden dann eine Basis?

Die Umformung habe ich weggelassen. Wäre ich dann soweit fertig, oder habe ich etwas vergessen aufzuschreiben?

Danke

Zeppi

Answer 1

Hallo

deine Umrechnung hab ich nicht nachgerechnet, wenn sie stimmt,  dann ist die Dimension 3, und du kannst 3 beliebige Lin. unabhängige aus den 5 als Basis nehmen.

lul

Comments

Danke,

ist es richtig, dass ich die Vektoren Spaltenweise aufgeschrieben habe in die Matrix? Und damit dann gerechnet habe?

u1=
1
2
-1
1
1
u2=
2
4
-1
0
0
u3=
3
5
-2
0
1

Wären diese 3 dann eine Basis?

Answer 2

Aloha :)

Du möchtest mit Hilfe der Gauß-Methode die linearen Abhängigkeiten aus den 4 Vektoren herausrechnen. Dazu hast du 2 Möglichkeiten. (1) Du kannst die Vektoren als Spalten in eine Matrix schreiben und diese dann mit elementaren Spaltenumformunen auf Dreieckform bringen. (2) Du kannst die Vektoren als Zeilen in eine Matrix schreiben und diese dann mit elementaren Zeilenumformungen auf Dreieckform bringen.

Du hast die Vektoren als Spalten in eine Matrix geschrieben und dann elementare Zeilenumformungen verwendet, also Methode (1) und (2) vermischt. Da kommt in der Regel nichts Sinnvolles bei raus.

Ich führe das Verfahren mal mit Spaltenumformungen vor:

$$\begin{array}{rrrr} & -2S_1 & -3 S_1 & -4S_1\\\hline1 & 2 & 3 & 4\\2 & 4 & 5 & 7\\-1 & -1 & -2 & -2\\1 & 0 & 0 & -1\\1 & 0 & 1 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} +2S_3 & & \cdot(-1) & -S_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & -1 & -1\\-1 & 1 & 1 & 2\\1 & -2 & -3 & -5\\1 & -2 & -2 & -4\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr}-S_2 & & +S_2 & -S_2 \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & -1 & 1\\-5 & -2 & 3 & -2\\-3 & -2 & 2 & -2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_3 & \vec b_2 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\-3 & -2 & 1 & 0\\-1 & -2 & 0 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-3 & 1 & -2 & 0\\-1 & 0 & -2 & 0\end{array}$$

Mehr können wir nicht vereinfachen, es bleiben 3 Basisvektoren \(\vec b_1\), \(\vec b_2\) und \(\vec b_3\) übrig, also hat \(U\) die Dimension \(3\).