Bestimmen Sie ein a ∈ ℝ, so dass die Gerade G die Ebene nicht schneidet.

Question

Aufgabe:

Sei

E:= { \( \begin{pmatrix} -2\\1\\1 \end{pmatrix} \) + λ · \( \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix} \) + μ · \( \begin{pmatrix} 2\\4\\-6 \end{pmatrix} \) : λ,μ ∈ ℝ }

eine Ebene im ℝ³ und für a ∈ ℝ sei die Gerade G im ℝ³ gegeben durch

G:= { \( \begin{pmatrix} -3\\3\\-5 \end{pmatrix} \) + z · \( \begin{pmatrix} 2a+2\\a+3\\2a \end{pmatrix} \) ∈ ℝ³ : z ∈ ℝ }

Bestimmen Sie ein a ∈ ℝ, so dass die Gerade G die Ebene nicht schneidet.

Ähnliche Aufgaben ließen sich durch herumbasteln lösen, aber ich würde mir etwas mit System wünschen :(

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Die Gerade schneidet die Ebene nicht, wenn ihr Richtungsvektor eine Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene ist. Du musst also ein \(a\) finden, sodass die folgende Gleichung erfüllt ist:$$\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\4\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+2\\a+3\\2a\end{pmatrix}$$

Wir lösen das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode:

$$\begin{array}{rrr|r|l}\lambda & \mu & a & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 2 & -2 & 2 & \\1 & 4 & -1 & 3 & -\text{Zeile 1} \\-2 & -6 & -2 & 0 & +2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 2 & -2 & 2 & -\text{Zeile 2}\\0 & 2 & 1 & 1 & \\ 0 & -2 & -6 & 4 & +\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & -3 & 1 & \\0 & 2 & 1 & 1 & \\ 0 & 0 & -5 & 5 & :\,(-5)\\\hline1 & 0 & -3 & 1 &+3\cdot\text{Zeile 3} \\0 & 2 & 1 & 1 & -\text{Zeile 3}\\ 0 & 0 & 1 & -1 & \\\hline1 & 0 & 0 & -2 &\Rightarrow\lambda=-2 \\0 & 2 & 0 & 2 &\Rightarrow\mu=1\\ 0 & 0 & 1 & -1 &\Rightarrow a=-1\\\hline\hline\end{array}$$Wir haben also eine passende Linearkombination gefunden, mit \(a=-1\).

Comments

Vielen Dank für die sehr aufwendige Antwort :)

Answer 2

Damit Gerade und Ebene parallel sind, muss der Richtungsvektor der Geraden sich als Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene darstellen lassen, also

        \(\lambda\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix} +\mu\cdot \begin{pmatrix} 2\\4\\-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+2\\a+3\\2a \end{pmatrix} \)

sein.

Comments

Anderer Kommentar hats gerade gelöst, danke!