Potenzreihe Konvergenzradius Wurzel

Question

Ich soll für eine Potenzreihe den Konvergenzradius mittels Wurzelkriterium für Potenzreihen bestimmen.

$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{5^{k}*k^{5}}}$$

Ich soll zeigen, dass man aus diesem Term auf den Konvergenzradius 1/5 kommt. Jedoch weiß ich nicht genau wie ich vor allem mit dem k^5 unter der Wurzel umgehen soll.

Weiß da jemand weiter?

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{5^k\cdot k^5}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{5^k}\cdot \sqrt[k]{k^5}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{5\cdot \left(\sqrt[k]{k}\right)^5}=\frac{1}{5\cdot \left(\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{k}\right)^5}=\frac{1}{5\cdot1^5}=\frac{1}{5}$$Der Grenzwert \(\sqrt[n]{n}\to1\) war bestimmt in der Lehrveranstaltung dran. Das machen die Profs gerne als Beispiel oder es war in den Übungen.