Konvergenz/Grenzwert

Question

Seien (an)n€N und (bn)n€N zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten a = lim n-->unendlich an und b = lim n-->unenlich bn. Zeigen Sie folgende Aussagen:

a) Die Folge (an + bn)n€N konvergiert gegen den Wert a + b

b) Die Folge (an * bn)n€N konvergiert gegen den Wert a * b

c) Die Folge ( |an| )n€N konvergiert gegen den Wert |a|


Ich weiß leider überhaupt nicht wie man so etwas macht. :-(

Answer 1

Zu (a). Sei \(\epsilon>0\). Es existieren \(N,M\in\mathbb N\) mit \(|a-a_n|<\frac\epsilon2\) für alle \(n>N\), sowie \(|b-b_n|<\frac\epsilon2\) für alle \(n>M\). Für alle \(n>\max(N,M)\) gilt nach der Dreiecksungleichung
\(|(a+b)-(a_n+b_n)|\leq|a-a_n|+|b-b_n|\leq\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon.\)
Daher ist \(a+b\) der Grenzwert der Folge \(a_n+b_n\).

Zu (b). Sei wieder \(\epsilon>0\). Bekanntlich ist die Folge \(a_n\) beschränkt. Sei  \(K\in\mathbb R\) so groß gewählt, dass \(|a_n|\leq K\) für alle \(n\) und \(|b|\leq K\) gilt. Es existieren \(N,M\in\mathbb N\) mit \(|a-a_n|<\frac\epsilon{2K}\) für alle \(n>N\), sowie \(|b-b_n|<\frac\epsilon{2K}\) für alle \(n>M\). Für alle \(n>\max(N,M)\) gilt nach der Dreiecksungleichung
\(\begin{aligned}|ab-a_nb_n|&=|(a-a_n)b+a_n(b-b_n)|\leq|a-a_n|\cdot|b|+|a_n|\cdot|b-b_n|\newline&\leq\frac\epsilon{2K}\cdot K+K\cdot\frac\epsilon{2K}=\epsilon.\end{aligned}\)
Daher ist \(a\cdot b\) der Grenzwert der Folge \(a_n\cdot b_n\).