Aloha :)
Das ist eigentlich gar nicht so wild, vermutlich musst du das nur einmal ordentlich gesehen haben. Wir überlegen uns zuerst, wie wir den Weg von Punkt \(P_1(2|-1|3)\) zum Punkt \(P_2(5|2|-1)\) parametrisieren können. Dazu bietet sich eine Geradengleichung an:
$$\vec r=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}5-2\\2-(-1)\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+3t\\-1+3t\\3-4t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$Wir müssen noch beachten, dass wir auf der Geraden nicht über die beiden Endpunkte hinaus laufen und daher \(t\in[0;1]\) einschränken.
Da wir uns entlang dieses Weges fortbewegen, können wir in dem zu integrierenden Vektorfeld die Koordinaten entsprechend einsetzen:$$\vec F=\begin{pmatrix}x+2y+z\\x^2+y^2+z^2\\xyz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(2+3t)+2(-1+3t)+(3-4t)\\(2+3t)^2+(-1+3t)^2+(3-4t)^2\\(2+3t)(-1+3t)(3-4t)\end{pmatrix}$$$$\vec F=\begin{pmatrix}5t+3\\34t^2-18t+14\\-36t^3+15t^2+17t-6\end{pmatrix}$$
Damit können wir das Wegintegral wie folgt umschreiben:
$$E=\int\limits_{C(P_1;P_2)}\vec F(\vec r)\cdot d\vec r=\int\limits_0^1F(\vec r(t))\cdot\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\begin{pmatrix}5t+3\\34t^2-18t+14\\-36t^3+15t^2+17t-6\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}3\\3\\-4\end{pmatrix}\,dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1\left(\,(15t+9)+(102t^2-54t+42)-(-144t^3+60t^2+68t-24)\,\right)dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1\left(\,144t^3+42t^2-107t+75\,\right)dt=\left[36t^4+14t^3-\frac{107}{2}t^2+75t\right]_0^1=\frac{143}{2}$$
