Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge...
Wir wissen, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeit gleich \(1\) sein muss, daher gilt:$$1\stackrel!=0,1+a+0,2+b+0,3=a+b+0,6\implies a+b=0,4\implies\underline{b=0,4-a}$$
Weiter wissen wir, dass der Erwartungswert der Zufallsvariablen \(X\) gleich \(0,75\) ist:
$$0,75=(-2)\cdot0,1+(-0,5)\cdot a+0,5\cdot0,2+1\cdot b+3\cdot0,3$$$$\phantom{0,75}=-0,2-0,5a+0,1+ b+0,9=0,8-0,5a+b$$$$\phantom{0,75}=0,8-0,5a+(0,4-a)=1,2-1,5a\quad\implies$$$$1,5a=1,2-0,75=0,45\implies a=\frac{0,45}{1,5}\implies\underline{a=0,3}$$
Damit wissen wir also, dass \(\boxed{a=0,3}\) und \(\boxed{b=0,1}\) ist.
Jetzt fehlt nur noch die Standardabweichung:
$$\sigma^2=\left(0,1\cdot(-2)^2+a\cdot(-0,5)^2+0,2\cdot0,5^2+b\cdot1^2+0,3\cdot3^2\right)-0,75^2$$$$\phantom{\sigma^2}=\left(0,1\cdot4+0,3\cdot0,25+0,2\cdot0,25+0,1\cdot1+0,3\cdot9\right)-0,5625=2,7625\quad\implies$$$$\sigma=\sqrt{2,7625}\approx\boxed{1,662077}$$
