Erwartungswert einer Zufallsgröße, wenn P(Y) für bestimmte Werte größer gleich 1/6 ist

Question

Hallo alle zusammen,

Könnte mir bitte jemand erklären, wie man auf diese Lösung kommt?

Aufgabe:

Die Zufallsgröße Y kann die Werte 3, 4 und 5 annehmen. Es gilt: P(Y=3)=1/3, P(Y=4)>= 1/6 und P(Y=5)>= 1/6. Bestimmen Sie alle Werte, die für den Erwartungswert von Y in Frage kommen.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Aufgabe durch Ausprobieren zu lösen, aber das hat nicht funktioniert. Die Aufgabe ist ohne Hilfsmittel zu lösen

Meine Lösungen:

E1(Y) = 3 * 1/3 + 4 * 1/6 + 5 * 1/2 = 19/6

E2(Y) = 3 * 1/3 + 4 * 1/2 + 5 * 1/6 = 17/6

E3(Y) = 3 * 1/3 + 4* 1/3 + 5* 1/3 = 3

E4(Y)= 3* 1/3 + 4* 1/5 + 5* 7/15 = 47/15

E5(Y) = 3* 1/3 + 4* 7/15 + 5* 1/5 = 28/15

E6(Y) = 3* 1/3 + 4* 1/4 + 5* 5/12 = 25/12

E7(Y) = 3* 1/3 + 4* 5/12 + 5* 1/4 = 35/12

Auf jeden Fall ist das, was ich gemacht habe, falsch. Die richtige Lösung wäre:

Mit 1/6 <= P(Y=5) <= 3/6 ergibt sich 23/6 <= E(Y) <= 25/6

Meine Fragen: Wie kommt man darauf? Und warum wird nur P(Y=5) betrachtet und nicht auch P(Y=4) ?

Answer 1

Wir haben folgendes:

\(P(Y=4) = \frac 16 + a\) und \(P(Y=5) = \frac 16 + b\) mit \(a,b \geq 0\), wobei gelten muss

\(\frac 13 + \frac 16 + a + \frac 16 + b = 1 \Leftrightarrow\)

\(b=\frac 13 - a \Rightarrow 0\leq a \leq \frac 13 \Rightarrow\)

\(P(Y=5) = \frac 16 + b = \frac 16+\frac 13 - a = \frac 12 - a \)

Unsere Zufallsgröße sieht also so aus:

\(y\)	4	5	6
\(P(Y=y)\)	\(\frac 13\)	\(\frac 16 + a\)	\(\frac 12 - a\)

Jetzt berechnest du den Erwartungswert in Abhängigkeit von \(0\leq a \leq \frac 13\):

\(E(Y) = 3\cdot \frac 13 + 4\left(\frac 16 + a\right) + 5\left(\frac 12 - a\right)= \frac{25}6 - a\)

\(0\leq a \leq \frac 13 \Rightarrow \boxed{\frac{23}6 \leq E(Y) \leq \frac{25}6}\)

Comments

Kannst du bitte erklären, wie du auf deinen Ansatz kommst?

Welche Rolle spielen a und b?

Hast du ein Anwendungsbeispiel für den Sachverhalt?

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Ah super ich danke dir, auf den Ansatz muss man doch erstmal kommen :')