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in der Aufgabenstellung steht, dass ich mithilfe der linaren Substitutionsregel das Integral ausrechnen soll. Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll noch die Substitutionsregel. Könnt ihr mir helfen? Bitte mit Erklärung.

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c) \( \int \frac{1}{(3 x+2)^{2}} d x \)

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c) \( \int \frac{1}{(3 x-2)^{2}} \cdot d x \)
\( 3 x-2=u \rightarrow x=\frac{u+2}{3}=\frac{1}{3} u+\frac{2}{3} \)
\( d x=\frac{1}{3} \cdot d u \)
\( \int \frac{1}{(3 x-2)^{2}} \cdot d x=\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} \cdot d u=\frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u^{2}} \cdot d u=\frac{1}{3} \cdot \int u^{-2} \cdot d u=-\frac{1}{3} \cdot u^{-1}=-\frac{1}{3 \cdot u} \)
\( \int \frac{1}{(3 x-2)^{2}} \cdot d x=-\frac{1}{3 \cdot(3 x-2)}+C=-\frac{1}{9 x-6}+C \)

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hier ein Rechner mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

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Hallo,

in der Aufgabenstellung steht, dass ich mithilfe der linaren Substitutionsregel das Integral ausrechnen soll.

\( \int \frac{1}{(3 x+2)^{2}} d x \)

Setze z=3x+2

dz/dx= 3

dx=dz/3

Setze das in den Integrand ein :

= 1/3 ∫ 1/z^2 dz

=1/3 (-1/z) +C Resubstituiere

=1/3 *(-1/(3x+2))+C

=(-1)/(9x+6) +C

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Aloha :)

Du kannst hier sehr leicht die Integrationsvariable von \(x\) zu \((3x)\) ändern und dann einfach \((3x)\) wie eine Variable behandeln.$$\int\!\frac{1}{(3x+2)^2}dx=\frac{1}{3}\!\int\!\frac{1}{(3x+2)^2}d(3x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{-1}{3x+2}+\text{const}=-\frac{1}{9x+6}+\text{const}$$

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