Kern der linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die lin. Abbildung: L: ℝ_{≤ 3}[x] → ℝ^2,2

f(x) = \( \begin{pmatrix} 2d + 2c & a - b \\ d + c & 2c \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie Kern (L).

Ansatz:
Die Lösung der Aufgabe ist span{ x³ + x² }.
Mir ist klar, dass ich dazu das Bild also die Matrix gleich Null setzen muss und die Lösung bestimmen muss. Ich habe versucht die Matrix in ZSF zu bringen und dann versucht die Koeffizienten zu ermitteln. Das war dann ziemlich verwirrend. Kann mir jemand helfen nachzuvollziehen wie das hier funktioniert?

Danke,

Johannes

Comments

Du solltest zuerst die Abbildung richtig angeben, sie heißt doch bestimmt

$$ L(ax^3+bx^2+cx+d) = \begin{pmatrix}2d+2c & a-b\\d+c & 2c\end{pmatrix} $$

Im Kern liegen jetzt die Polynome s.d.

$$ \begin{pmatrix}2d+2c & a-b\\d+c & 2c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} $$

Dadurch bekommst du direkt Bedingungen die die Koeffizienten erfüllen müssen.

Answer 1

Löse das Gleichungssystem

        \(\begin{aligned} \phantom{0a+0b+}2c+2d & =0\\ \phantom{1}a-\phantom{1}b\phantom{+0c+0d} & =0\\ \phantom{0a+0b+1}c+\phantom{1}d & =0\\ \phantom{0a+0b+}2c\phantom{+0d} & =0 \end{aligned}\)