Was ist die vollständige Lösungsmenge ? Lineare Gleichungssysteme

Question

Aufgabe: Lösen Sie das Gleichungssystem:

a + 2b + 3c - 5d = -3

-4a - 8b -11c + 17d = 7

Was ist die vollständige Lösungsmenge ?

Problem/Ansatz: Ich habe die Gleichung in die Stufenform gesetzt und versucht Basisvariablen einzusetzen. Trotzdem verstehe ich nicht wie ich ein α und ein β einbringen soll. Könnte mir bitte jemand dabei helfen ?

Answer 1

Aloha :)

Unser Ziel bei den folgenden Umformungen ist es, so viele Spalten mit genau einer 1 und sonst nur 0 zu erzeugen:$$\begin{array}{rrrr|r|l}a & b & c & d & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 3 & -5 & -3 &\\-4 & -8 & -11 & 17 & 7 &+4\cdot Z_1\\\hline1 & 2 & 3 & -5 & -3 &-3\cdot Z_2\\0 & 0 & 1 & -3 & -5 &\\\hline1 & 2 & 0 & 4 & 12 &\\0 & 0 & 1 & -3 & -5 &\\\hline\uparrow & & \uparrow\end{array}$$Wir konnten zwei Spalten der gewünschten Form erzeugen, eine für \(a\) und eine für \(c\). Wir stellen daher die erste Gleichung nach \(a\) um und die zweite Gleichung nach \(c\):$$a+2b+4d=12\implies a=12-2b-4d$$$$c-3d=-5\qquad\implies c=-5+3d$$

Jetzt kannst du alle Lösungen des Gleichungssystem angeben:

$$\left(\begin{array}{r}a\\b\\c\\d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}12-2b-4d\\b\\-5+3d\\d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}12\\0\\-5\\0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{r}-2\\1\\0\\0\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{r}-4\\0\\3\\1\end{array}\right)$$

Comments

Vielen Dank für diese sehr ausführliche Antwort !!

Answer 2

a + 2·b + 3·c - 5·d = -3
- 4·a - 8·b - 11·c + 17·d = 7

II + 4*I

c - 3·d = -5

b = r ; d = s → Freiheitsgrade

c - 3·s = -5 --> c = 3·s - 5

a + 2·r + 3·(3·s - 5) - 5·s = -3 --> a = - 2·r - 4·s + 12

Damit ist der Lösungsvektor

[- 2·r - 4·s + 12 ; r ; 3·s - 5 ; s] = [12 ; 0 ; -5 ; 0] + r·[- 2 ; 1 ; 0 ; 0] + s·[- 4 ; 0 ; 3 ; 1]