Komplexe Zahlen Polardarstellung mit Potenz

Question

Aufgabe:

Geben sie an c,d IR an mit z¹⁰ =c+dj zu   z=1+j

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht wieso hier aus e^{jπ 2,5}  =e^{j π 0,5} wird. Wo kommt die 0,5 her und wieso bleibt nur 32j übrig?

Text erkannt:

\( \begin{aligned} z^{10} &=\left(\sqrt{2} \cdot e^{j \frac{\pi}{4}}\right)^{10}=\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{10} \cdot\left(e^{j \cdot \frac{\pi}{4}}\right)^{10} \\ &=2^{5} \cdot e^{j \cdot \pi \cdot \frac{10}{4}} \\ &=32 \cdot e^{j \cdot \pi \cdot 2,5}=32 \cdot \underbrace{e^{j \cdot \pi \cdot 0,5}}_{j}=32 j \end{aligned} \)

Answer 1

wieso hier aus e^{jπ 2,5} =e^{j π 0,5} wird.

Es ist

        \(\mathrm{e}^{j\pi\cdot2{,}5}=\mathrm{e}^{j\pi\cdot(2+0,5)} = \mathrm{e}^{j\pi\cdot2 + j\pi\cdot0{,}5}=\mathrm{e}^{j\pi\cdot2}\cdot\mathrm{e}^{j\pi\cdot0{,}5}\)

und

        \(\mathrm{e}^{j\pi\cdot2} = 1\)

Comments

Danke, was ein nerviger scheiß

Answer 2

In Grad wäre das 450°=360°+90°=90°.

Du kannst also 2pi subtrahieren.

Und 0,5pi entspricht 90° und damit der imaginären Achse.

:-)