Was ist der Funktionswert in diesem Minimum?

Question

Die Funktion f(x,y)=x hoch 2+y hoch 2 wird unter der Nebenbedingung −4x−6y=52 optimiert. Sie besitzt ein Minimum. Was ist der Funktionswert in diesem Minimum?

wie kann m an hier die minimum verwenden bzw. welche Formel anwenden?

Answer 1

Bestimme den  Kreis um den Koordinatenursprung, der die gegebene Gerade als Tangente hat. Der Funktionswert des Berührungspunktes ist das Minimum.

Answer 2

Löse die Nebenbedingungsgleichung z.B. nach y auf, um dann die Extremwertaufgabe mit der einzigen verbleibenden Variablen x  zu lösen.

Nebenbei: am oberen Rand des Eingabefensters kannst du die richtigen "Tools" finden, um die Aufgabenstellung in korrekter Schreibweise rüberzubringen. Ich vermute mal, dass wohl

f(x,y) = x² + y²

gemeint sein sollte.

Answer 3

Aloha :)

Stelle die Nebenbedingung nach \(y\) um:$$-4x-6y=52\implies 6y=-4x-52\implies y=-\frac{4x+52}{6}=-\frac{2x+26}{3}$$und setze das Resultat in die Funktion ein:$$f(x;y)=x^2+y^2=x^2+\left(\frac{2x+26}{3}\right)^2=x^2+\frac{4x^2+104x+676}{9}$$$$\phantom{f(x;y)}=\frac{1}{9}(13x^2+104x+676)\eqqcolon h(x)$$

Von der Funktion \(h(x)\) kannst du nun die Extrema wie bekannt ermitteln:$$0\stackrel!=h'(x)=\frac{1}{9}(26x+104)\implies26x=-104\implies x=-\frac{104}{26}=-4$$$$h''(x)=\frac{1}{9}\cdot26>0\implies\text{globales Minimum}$$

Im Minimum ist also \(x=-4\) bzw. \(y=-\frac{2x+26}{3}=-6\) und der Funktionswert beträgt dort:$$f(-4;-6)=16+36=52$$