Zwei Aufgaben zu e-Funktionen

Question

Aufgabe:

Ich habe diese beiden Aufgaben auf, aber ich weiß leider gar nicht wie ich das rechnen muss und ich hab sonst keinen, der mit dabei helfen kann. Könnte mir das bitte jemand vorrechnen & erklären? Dann könnte ich zumindest versuchen es nachzuvollziehen.

Problem/Ansatz:

Erste Aufgabe:

Gegeben ist Funktion f mit f ( x ) = 10x × e^ − x .

a ) Ich muss begründen, dass der Graph von f immer unterhalb der Geraden mit der Gleichung y = 4 liegt .

b ) Die Wendetangente des Graphen bildet zusammen mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck . Hier muss ich den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen.

Zweite Aufgabe:

Die Funktion f ist gegeben durch f ( x ) = x + e (^1 − x )

a) Ich muss zeigen, dass der Funktionsgraph zwar einen Extrempunkt , aber keinen Wendepunkt besitzt .

b) Jetzt muss ich noch begründen, dass der Graph von f immer oberhalb der 1 . Winkelhalbierenden mit d. Gleichung y = x verläuft & sich dieser Geraden für x → ∞ immer weiter annähert .

Dankeschön im Voraus!

Answer 1

Ich muss begründen, dass der Graph von f immer unterhalb der Geraden mit der Gleichung y = 4 liegt

Dann wird er wohl einen Hochpunkt mit einer y-Koordinate kleiner als 4 haben.

Berechne also den Hochpunkt.

Die Wendetangente des Graphen bildet zusammen mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck .

Hast du schon den Wendepunkt berechnet?

Wenn nein, berechne ihn. Wenn ja: berechne die Ableitung an der Wendestelle (= Anstieg der Wendetangente.)

Falls du beides schon hast: Berechne die Gleichung der Wendetangente (und deren Schnittpunkte mit den Achsen).

Answer 2

Text erkannt:

\( f(x)=10 x \cdot e^{-x}=\frac{10 x}{e^{x}} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{10 \cdot e^{x}-10 x \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{10-10 x}{e^{x}} \)
\( 10-10 x=0 \)
\( x=1 \)
\( f(1)=\frac{10}{e} \approx 3,678 \)
Art des Extremwertes:
\( \left[\frac{10-10 x}{e^{x}}\right] \cdot=\frac{-10 \cdot e^{x}-(10-10 x) \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{-10-(10-10 x)}{e^{x}}=\frac{-20+10 x}{e^{x}} \)
\( f^{\cdots}(1)=\left(-20+10^{*} 1\right) / e^{\wedge} 1<0->-> \) Maximum
Das Maximum liegt bei \( H(1\lceil\sim 3,678) . \) Somit liegt der Graph immer unterhalb \( y=4 \)

Comments

Du musst nur noch nachweisen, dass das lokale Maximum auch das globale Maximum ist...

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Text erkannt:

\( f(x)=10 x \cdot e^{-x}=\frac{10 x}{e^{x}} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{10 x}{e^{x}} \rightarrow 0, \) weil der Nenner stärker wächst als der Zähler.
\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} 10 \frac{x}{e^{x}} \rightarrow-\infty \)
\( f(x)=\frac{10 x}{e^{x}} \)
\( f(-100)=-\frac{1000}{e^{-100}}=-1000 \cdot e^{100} \)
Wenn \( x \) immer kleiner wird geht der Wert letzlich \( \rightarrow-\infty \)