Aufgaben mathe mit Scharen

Question

Aufgabe

Gegeben sind die Scharen fk(x) = x^2 + 2kx + k^ 2 und gk (x) = 3x + 3k.

A) Null und extremsten berechnen in Abhängigkeit von k

B) Schnittpunkte berechnen in Abhängigkeit von k

C) rechnerisch zeigen, dass die Fläche, die f mit g einschließt, unabhängig von k, immer eine Größe von 4,5 (FE) besitzt
Problem/Ansatz:

Hallo liebe Leute ich brauche dringend Hilfe bei den Aufgaben. Bei der Nummer a) habe ich es berechnet bis am 2 variablen bei mir übrig geblieben sind und ab da komme ich einfach seit Stunden nicht mehr weiter.... die anderen Aufgaben funktionieren irgendwie bei mir nicht... ich bekomme nicht die Lösung raus. Es wäre wirklich sehr nett wenn mir einer helfen würde:)

Answer 1

Auf die erste Funktion kannst du die binomische Formel anwenden.

Answer 2

Text erkannt:

A) Nullstellen in Abhängigkeit von \( k: \) \( x^{2}+2 k x=-k^{2} \)
\( (x+k)^{2}=-k^{2}+k^{2}=0 \)
\( x_{1,2}=-k \)
\( 3 x+3 k=0 \)
\( x=-k \)
A) Extemstellen in Abhängigkeit von \( k \) :
\( f_{k}(x)=x^{2}+2 k x+k^{2} \)
\( f^{\prime}(x)=2 x+2 k \)
\( 2 x+2 k=0 \)
\( x=-k \rightarrow \rightarrow f(-k)=(-k)^{2}+2 k \cdot(-k)+k^{2}=0 \)
Art des Extremwerts:
\( f^{\cdots}(x)=2>0, \) daher Minimum

Text erkannt:

B) Schnittpunkte berechnen in Abhängigkeit von \( k \)
\( f_{k}(x)=g_{k}(x) \)
\( x^{2}+2 k x+k^{2}=3 x+3 k \)
\( x^{2}+(2 k-3) \cdot x=3 k-k^{2} \)
\( \left(x+k-\frac{3}{2}\right)^{2}=3 k-k^{2}+\left(k-\frac{3}{2}\right)^{2}=3 k-k^{2}+k^{2}-3 k+\frac{9}{4}=\frac{9}{4} \mid \sqrt{ } \)
\( x_{1}=\frac{3}{2}-k+\frac{3}{2}=3-k \rightarrow \rightarrow g_{k}(3-k)=3 \cdot(3-k)+3 k=9 \)
\( x_{2}=\frac{3}{2}-k-\frac{3}{2}=-k \rightarrow \rightarrow g_{k}(-k)=3 \cdot(-k)+3 k=0 \)
C) rechnerisch zeigen, dass die Fläche, die \( f \) mit \( g \) einschlieBt, unabhängig von \( k \), immer eine GröBe von \( 4,5(F E) \) besitzt
\( k=0 \)
\( \int \limits_{0}^{3}\left(3 x-x^{2}\right) \cdot d x=\left[\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{3}=\left[\frac{3}{2} \cdot 3^{2}-\frac{1}{3} \cdot 3^{3}\right]-\left[\frac{3}{2} \cdot 0^{2}-\frac{1}{3} \cdot 0^{3}\right]=4,5 \)
\( k=1 \)
\( \int \limits_{-1}^{2}\left(x^{2}+2 x+1-3 x-3\right) \cdot d x=\int \limits_{-1}^{2}\left(x^{2}-x-2\right) \cdot d x=\left[\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-2 x\right]_{-1}^{2} \)
\( =\left[\frac{1}{3} \cdot(2)^{3}-\frac{1}{2} \cdot(2)^{2}-2 \cdot(2)\right]-\left[\frac{1}{3} \cdot(-1)^{3}-\frac{1}{2} \cdot(-1)^{2}-2 \cdot(-1)\right]=-4,5 \)

Comments

Hier noch ein Bild mit k=0:

Text erkannt:

\begin{tabular}{l}
14 \\
\hline
\end{tabular}

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Vielen Dank !