Welche Menge an E_{2} kann hergestellt werden, wenn die Lagerbestände an A_{1} und A_{2} zur Gänze verbraucht werden?

Question

Aus den beiden Rohstoffen \( A_{1} \) und \( A_{2} \) werden drei Produkte \( E_{1}, E_{2} \) und \( E_{3} \) gefertigt. Der Bedarf an \( A_{1} \) und \( A_{2} \) pro Mengeneinheit der Endprodukte sowie die verfügbaren Lagerbestände von \( A_{1} \) und \( A_{2} \) sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:$$\begin{array}{|c|rrr|r|}\hline & E_{1} &  E_{2} &  E_{3} & \text{Lager} \\\hline A_{1}  & 7 & 30 & 13 & 5865 \\ A_{2} & 18 & 6 & 10 & 4624 \\\hline\end{array}$$Aus technischen Gründen müssen die hergestellten Mengen im Verhältnis 10: 7: 5 stehen.

Welche Menge an \( E_{2} \) kann hergestellt werden, wenn die Lagerbestände an \( A_{1} \) und \( A_{2} \) zur Gänze verbraucht werden? Hinweis: von \( E_{1} \) werden 170 Einheiten erzeugt.

Answer 1

Aloha :)

Wir nehmen den Hinweis, dass von \(E_1\) 170 Einheiten erzeugt werden, dass also \(x_1=170\) gilt. Dann bleiben 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:

$$7\cdot170+30x_2+13x_3=5865\implies30x_2+13x_3=4675$$$$18\cdot170+6x_2+10x_3=4624\implies\;\;6x_2+10x_3=1564$$

Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit \(5\), erhalten \(30x_2+50x_3=7820\), und subtrahieren davon die erste Gleichung:

$$50x_3-13x_3=7820-4675\implies37x_3=3145\implies\boxed{x_3=85}$$$$6x_2=1564-10x_3=1564-850=714\implies\boxed{x_2=119}$$

Es werden also \(170\) von \(E_1\), \(119\) von \(E_2\) und \(85\) von \(E_3\) produziert.