Bedarfsvektoren für Rohstoffe: Ich bekomme nicht die richtige Lösung :(

Question

Aufgabe:\( A_{1}, A_{2}, A_{3} \) sei durch die Bedarfsvektoren
\( \mathbf{a}_{1}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 5\end{array}\right), \mathbf{a}_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 5\end{array}\right), \mathbf{a}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) \)
gegeben. Insgesamt stehen 70 Einheiten des Rohstoffes \( R_{1}, 100 \) Einheiten des Rohstoffes \( R_{2} \) und 135 Einheiten von \( R_{3} \) zur Verfügung. Wieviele Mengeneinheiten können von \( A_{1} \) hergestellt werden, wenn die Rohstoffvorräte zur Gänze verbraucht
werden? Hinweis: von \( A_{2} \) werden 5 Einheiten erzeugt.

Ich habe leider diese Thema nicht verstanden, kann mir jemand bitte helfen!

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Hier muss der Resourcen-Vektor auf die 3 Bedarfsvektoren aufgeteilt werden

$$x_1\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}70\\100\\135\end{pmatrix}$$

Diese kannst du als Matrix-Gleichung aufschreiben:

$$\begin{pmatrix}3 & 0 & 1\\3 & 2 & 3\\5 & 5 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}70\\100\\135\end{pmatrix}$$

und entsprechend lösen:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 & 1\\3 & 2 & 3\\5 & 5 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}70\\100\\135\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\5\\10\end{pmatrix}$$

Es können also \(20\) Objekte \(A_1\), \(5\) Objekte \(A_2\) und \(10\) Objekte \(A_3\) hergestellt werden.

Answer 2

[3, 0, 1; 3, 2, 3; 5, 5, 1]·[x; y; z] = [70; 100; 135] --> x = 20 ∧ y = 5 ∧ z = 10

Von A1 können demnach 20 Einheiten erzeugt werden.

Comments

Die Matrizengleichung kannst du auch als LGS schreiben

3·x + z = 70
3·x + 2·y + 3·z = 100
5·x + 5·y + z = 135

I ; 2*III - 5*II

3·x + z = 70
- 5·x - 13·z = -230

II + 13*I

34·x = 680 --> x = 20 → Es können 20 von A1 produziert werden.