Aloha :)
Gesucht ist der Grenzwert:$$g'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\quad\text{wobei}\quad g(x)=ax^2+c$$Das Problem bei der Berechnung ist, dass der Nenner zu Null wird, wenn sich \(x\) immer weiter \(x_0\) annähert. Daher müssen wir den Bruch erst so umformen, dass wir den Nenner rauskürzen können:
$$\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{(ax^2+c)-(ax_0^2+c)}{x-x_0}=\frac{ax^2+c-ax_0^2-c}{x-x_0}=\frac{ax^2-ax_0^2}{x-x_0}$$Den Zähler können wir mit Hilfe der dritten binomischen Formel umschreiben:$$ax^2-ax_0^2=a(x^2-x_0^2)=a(x-x_0)(x+x_0)$$Setzen wir das wieder in den Bruch ein, können wir kürzen:$$\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{a\cdot\cancel{(x-x_0)}\cdot(x+x_0)}{\cancel{x-x_0}}=a(x+x_0)$$
Damit können wir nun den Grenzwert \(x\to x_0\) bestimmen:$$g'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(\,a(x+x_0)\,\right)=a(x_0+x_0)=2ax_0$$
Die gesuchte Ableitung ist also \(g'(x_0)=2ax_0\).
