Finden Sie eine lineare Abbildung, so dass folgendes Diagramm kommutiert.

Question

Aufgabe:

\( M_{1}:=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), M_{2}:=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right), M_{3}:=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \)

und die linearen Abbildungen \( f_{i} \) definiert durch \( f_{i}(x)=M_{i} \cdot x \), für \( 1 \leq i \leq 3 \). Finden Sie eine lineare Abbildung \( f_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \), so dass folgendes Diagramm kommutiert:

\( \mathbb{R}^{3} \stackrel{f_{1}}{\longrightarrow} \mathbb{R}^{3} \)
\( \downarrow f_{2} \quad ~ \downarrow f_{3} \)
\( \mathbb{R}^{2} \)\( \stackrel{f_{4}}{\longrightarrow} \mathbb{R}^{2} \)

Hinweis: Per Definition kommutiert das obige Diagramm genau dann, wenn \( f_{4} \circ f_{2}=f_{3} \circ f_{1} \).

Answer 1

\(f_3\circ f_1\) entspricht der Matrix $$M_3\cdot M_1=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&0&1\end{array}\right)$$
Diese unterscheidet sich von \(M_2\) dadurch, dass die Zeilen vertauscht sind.
Die \(f_4\) darstellende Matrix \(M_4\) muss also eine \(2\times 2\)-Permutationsmatrix sein,
die die beiden Zeilen vertauscht, d.h.$$M_4=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$$ist die darstellende Matrix von \(f_4\).