Lineare Abbildungen und Matrizen - Diagramm

Question

Aufgabe:

Es seien V,W K-Vektorräume, B=(v₁,...,v_n) eine Basis für V und C=(w₁,...,w_n) eine Basis für W. Wenn A∈Mat(m,n,K) eine Matrix ist, dann existiert eine eindeutige lineare Abbildung $$\mu_\mathcal{C}^\mathcal{B}(A):V\rightarrow W$$, sodass das untere Diagramm kommutativ wird.

Problem/Ansatz:

Was bedeutet die Abbildung $$\mu_\mathcal{C}^\mathcal{B}(A):V\rightarrow W$$ ? Was passiert hier mit der Matrix A?

Answer 1

Hier wird jeder Vektor V als Linearkombination der

Basisvektoren von B dargestellt.  Die dabei benutzten

Koordinaten bilden ein Element von  x ∈ K^n. Das ist das

x_B(v). Mit dieses Element v wird die Matrix A multipliziert

und es entsteht ein Element y ∈ K^m .  Das ist das x_C(w),

enthält also die Koordinaten des Bildes von v bezüglich der

Basis C.

Auf diese Weise wird mittels A jedem x∈V ein w∈W

zugeordnet- Das macht die Abbildung μ^B_C(A).

Comments

Ok, aber weiß nicht, wie die Abbildung $$ \mu_\mathcal{C}^\mathcal{B}(A):V\rightarrow W $$ genau aussieht, sondern weiß nur, dass es sie gibt. Jedenfalls wüsste ich nicht, wie man auf diese kommen sollte.

Ich betrache folgendes Beispiel:

$$V:=\mathbb{R}^3\quad \mathcal{B}:= \left( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \right)$$

$$ W:=\mathbb{R}^2\quad \mathcal{C}:=\left( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) $$

$$ A:=\begin{pmatrix} 1&1&1\\2&2&2\end{pmatrix} $$

$$ v=\begin{pmatrix}5\\8\\2 \end{pmatrix} $$

Dann ist

$$ x_{\mathcal{B}(v)} = \begin{pmatrix} 5\\8\\2 \end{pmatrix} \qquad A\cdot x_{\mathcal{B}(v)} = \begin{pmatrix}15\\30 \end{pmatrix} =:x_{\mathcal{C}(w)} $$

Man erhält dann

$$ w=15\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+30 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 45 \end{pmatrix} = \mu_\mathcal{C}^\mathcal{B}(A)(v) $$

Wie man sieht, bin ich nur über einen ,,Umweg'' zu w gelangt.

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Kannst auch so rechnen:

Mach aus der Basis C die Matrix   M

2  0
1  1

und rechne dann für das Bild von

M * A * v