Ok, aber weiß nicht, wie die Abbildung $$ \mu_\mathcal{C}^\mathcal{B}(A):V\rightarrow W $$ genau aussieht, sondern weiß nur, dass es sie gibt. Jedenfalls wüsste ich nicht, wie man auf diese kommen sollte.
Ich betrache folgendes Beispiel:
$$V:=\mathbb{R}^3\quad \mathcal{B}:= \left( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \right)$$
$$ W:=\mathbb{R}^2\quad \mathcal{C}:=\left( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) $$
$$ A:=\begin{pmatrix} 1&1&1\\2&2&2\end{pmatrix} $$
$$ v=\begin{pmatrix}5\\8\\2 \end{pmatrix} $$
Dann ist
$$ x_{\mathcal{B}(v)} = \begin{pmatrix} 5\\8\\2 \end{pmatrix} \qquad A\cdot x_{\mathcal{B}(v)} = \begin{pmatrix}15\\30 \end{pmatrix} =:x_{\mathcal{C}(w)} $$
Man erhält dann
$$ w=15\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+30 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 45 \end{pmatrix} = \mu_\mathcal{C}^\mathcal{B}(A)(v) $$
Wie man sieht, bin ich nur über einen ,,Umweg'' zu w gelangt.