Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\cos(x) \) im Intervall \( \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \).
Die Fläche, die von den Grafen von \( f(x) \), \( x=0 \) und \( x=\frac{\pi}{2} \) eingeschlossen wird, wird in zwei Teilflächen vom Grafen von \( y=c \) geteilt.
Bestimme den Wert für \( c \) so, dass die beiden Teilflächen denselben Inhalt haben.
Problem/Ansatz:
$$\int\limits_{0}^{\cos^{-1}(c)}f(x) - c dx = c \cos^{-1}(c) + \int\limits_{\cos^{-1}(c)}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$$
$$\int\limits_0^{ \cos^{-1}(c)} \cos(x) - c dx = c \cdot \cos^{-1}(c) + \int\limits_{\cos^{-1}(c)}^{ \frac{ \pi}{2}} \cos(x) dx$$
$$\left[\sin(x) - cx\right]_0^{\cos^{-1}(c)} = c \cdot \cos^{-1}(c) + \left[\sin(x)\right]_{\cos^{-1}(c)}^{\frac{\pi}{2}}$$
$$\left[\sin(\cos^{-1}(c)) - c \cdot \cos^{-1}(c)\right] - \left[\sin(0) - c \cdot 0\right] = c \cdot \cos^{-1}(c) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(\cos^{-1}(c))$$
$$\sin(\cos^{-1}(c)) - c \cdot \cos^{-1}(c) = c \cdot \cos^{-1}(c) + 1 - \sin(\cos^{-1}(c)) | - \sin(\cos^{-1}(c)) + c \cdot \cos^{-1}(c)$$
$$0 = 2\left[c \cdot \cos^{-1}(c) - \sin(\cos^{-1}(c)\right] + 1$$
So weit bin ich gekommen, nun weiß ich aber nicht mehr weiter. WolframAlpha gibt als Lösung \( c \approx 0.35 \), was mir sinnvoll erscheint, aber keinen Rechenweg.
Ist mein Ansatz korrekt und wie geht man hier weiter vor?
