2x2-Matrizen A, B und C mit C = x*A + y*B linear unabhängig?

Question

Verständnis Problem bei folgender Aufgabe:

Es sind \( 32 \times 2 \) Matrizen gegeben

\( A=\left(\begin{array}{l}1 & -4 \\ 2 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{r}-2 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc}0 & -4 \\ 7 & 8\end{array}\right) \)

Man berechne Zahlen \( x \) und \( y \), für die gilt \( C=x * A+y * B \), sind \( A, B, C \) linear unabhängig?

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%5B+x*%7B%7B1%2C-4%7D%2C%7B2%2C3%7D%7D%2By*%7B%7B-2%2C4%7D%2C%7B3%2C2%7D%7D%3D%7B%7B0%2C-4%7D%2C%7B7%2C8%7D%7D%5D

Interpretation bitte selbständig.

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Da steht aber nicht drauf wie er es gemacht hat und darum geht es mir ja !

Answer 1

An jeder Position der Matrix muss das Richtige rauskommen. Vgl. auch die 'ähnliche Frage": https://www.mathelounge.de/78343/2x2-matrizen-a1-a2-und-a3-linear-abhangig-oder-unabhangig"

Daher die 4 Gleichungen:

(I)        0=x-2y
(II)      -4=-4x+4y
(III)      7=2x + 3y
(IV)      8=3x + 2y

Wenn du nun x und y rausbekommst,so dass alle 4 Gleichungen mit ihnen aufgehen, sind A, B und C linear abhängig.

Denn dann hast du ja

xA + yB +(-1)C=0         Nullmatrix darstellen können auf nichttriviale Weise.

Wenn du auf einen Widerspruch stösst und sich kein x,y bestimmen lässt, sind die 3 Matrizen vermutlich linear unabhängig. Dazu müsstest du auch bei
xA + yB +zC=0  
auf einen Widerspruch stossen.

(I)        0=x-2y
(II)      -4=-4x+4y
(III)      7=2x + 3y
(IV)      8=3x + 2y

(I)----> x=2y in (II) einsetzen: 
-4 = -8y+4y ---> -4=-4y ---> y=1 und x=2

in (III) 4+3=7
in(IV) 6+2=8

Alles ok.

2A+1B = C oder

2A+1B-1C=0 Nullmatrix.

Die Matrizen A, B und C sind linear abhängig.

Comments

DANKE !

Aber.....


wieso hast du in der ersten Gleichung  (I)        0=x-2y und nicht 0=x+2y ???

Zudem wie komme ich jetzt auf mein X und Y ????

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Links oben in den Matrizen hast du der Reihe nach

1, -2 und 0.

Daher 1x -2y =0.

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Und wieso macht man das nicht in der zweiten Gleichung auch ???

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Ich habe alle Gleichungen auf die gleiche Art erhalten.

Nun habe ich 4 Gleichungen und 2 Unbekannte. Da meist 2 Gleichungen schon genügen, um x und y zu bestimmen, kann es sein, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist. Hier klappt die Auflösung aber.

Repetiere hiermit, wie man lineare Gleichungssysteme lösen kann: https://www.matheretter.de/wiki/lineare-gleichungssysteme

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Sorry aber ich verstehe es nicht !....

Das kann doch gar nicht sein !


Könntest du mal die komplette Lösung mit WEG Posten !

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Mehr Weg ist da nicht möglich und bestimmt nicht verlangt. Kannst du so abschreiben.