Verständnis Problem bei folgender Aufgabe:
Es sind 32×2 32 \times 2 32×2 Matrizen gegeben
A=(1−423),B=(−2432),C=(0−478) A=\left(\begin{array}{l}1 & -4 \\ 2 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{r}-2 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc}0 & -4 \\ 7 & 8\end{array}\right) A=(12−43),B=(−2342),C=(07−48)
Man berechne Zahlen x x x und y y y, für die gilt C=x∗A+y∗B C=x * A+y * B C=x∗A+y∗B, sind A,B,C A, B, C A,B,C linear unabhängig?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%5B+x*%7B%7B1%2C-4%7D%2C%… Interpretation bitte selbständig.
An jeder Position der Matrix muss das Richtige rauskommen. Vgl. auch die 'ähnliche Frage": https://www.mathelounge.de/78343/2x2-matrizen-a1-a2-und-a3-linear-ab… Daher die 4 Gleichungen: (I) 0=x-2y (II) -4=-4x+4y (III) 7=2x + 3y (IV) 8=3x + 2y Wenn du nun x und y rausbekommst,so dass alle 4 Gleichungen mit ihnen aufgehen, sind A, B und C linear abhängig. Denn dann hast du ja xA + yB +(-1)C=0 Nullmatrix darstellen können auf nichttriviale Weise. Wenn du auf einen Widerspruch stösst und sich kein x,y bestimmen lässt, sind die 3 Matrizen vermutlich linear unabhängig. Dazu müsstest du auch bei xA + yB +zC=0 auf einen Widerspruch stossen.
(I) 0=x-2y (II) -4=-4x+4y (III) 7=2x + 3y (IV) 8=3x + 2y
(I)----> x=2y in (II) einsetzen: -4 = -8y+4y ---> -4=-4y ---> y=1 und x=2
in (III) 4+3=7 in(IV) 6+2=8
Alles ok.
2A+1B = C oder
2A+1B-1C=0 Nullmatrix.
Die Matrizen A, B und C sind linear abhängig.
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