Stammfunktion cosx * sinx

Question

Aufgabe:

Integrieren folgender Fkt.:

f(x) = sin(x) * cos(x)

Mein Ergebnis:

F(x) = - cos(x)^2/2

Ist auch sin(x)^2/2 richtig ? Wenn ja, wie und warum ?

Answer 1

Ist auch sin(x)²/2 richtig ?

Nein.

Comments

Etwas seltsam, denn im Internet fand ich diese Stammfunktion (sin(x)^2/2) als richtig berechnetes Ergebnis.

Trotzdem danke für Ihre Antwort:)

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Es ist auch eine solche.

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Im Internet steht noch viel. Im Internet nachschauen ist keine valide Lösungsmethode der Integralrechnung. Ich besitze ein T-Shirt auf dem steht "Denken ist wie googeln, nur krasser".

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Was ist denn die Ableitung von sin(x)²/2 ? Ist das nicht sin(x)·cos(x) ?

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Uppps, sorry, ich hab Blödsinn verzapft. Hätte ich gescheiter gegoogelt als versucht zu denken:)

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sin(x)^2 bedeutet sin(x^2)

Du meinst aber: (sinx)^2 = sin^2(x)

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Doch! Sowohl - cos(x)²/2  als auch sin(x)²/2

sind Stammfunktionsterme von f(x) = sin(x) * cos(x)

sin(x)² bedeutet sin(x²)

Nein, sin(x)² = [ sin(x) ]²

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Das scheint umstritten zu sein. Ich habe schon anderes gelesen.

Wo kann man das nachlesen?

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Gib doch beides mit x=2 einfach in einen beliebigen Rechner oder bei wolframalpha ein.

Answer 2

Aloha :)

Es gibt nicht die Stammfunktion, da die Integrationskonste immer frei wähbar ist.$$\int\sin(x)\cdot\cos(x)=-\frac{1}{2}\cos^2x+c_1$$Setzen wir nun \(c_1=\frac{1}{2}+c_2\) gilt:

$$\int\sin(x)\cdot\cos(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos^2x+c_2=\frac{1}{2}\left(1-\cos^2x\right)+c_2=\frac{1}{2}\sin^2x+c_2$$

Damit ist \(\frac{1}{2}\sin^2x\) ebenso eine mögliche Stammfunktion.