Wie löst man diese trigonometrische Gleichung Schritt für Schritt?

Question

Aufgabe:

Gib die Lösung folgender trigonometrischen Gleichung an.

\( (sin(x))^{2} \)-\( (cos(x))^{2} \)-sin(x)=0  

[0,2π]

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Gleichung Schritt für Schritt ?

Answer 1

Hier der Weg ohne Substitution:

\( (sin(x))^{2} \)-\( (cos(x))^{2} \) - sin(x)=0

2*\( (sin(x))^{2} \) - sin(x)=1

\( (sin(x))^{2} \) - \( \frac{sin(x)}{2} \) =\( \frac{1}{2} \)

(  sin(x)  - \( \frac{1}{4} \)  )^2=\( \frac{1}{2} \)+\( \frac{1}{16} \)  = \( \frac{9}{16} \)

1.) sin(x)=\( \frac{1}{4} \)+ \( \frac{3}{4} \)=1

x= 90°  oder x=\( \frac{π}{2} \)

2.) sin(x)=\( \frac{1}{4} \)- \( \frac{3}{4} \)= -\( \frac{1}{2} \)

x=...

Answer 2

Ersetze cos²(x) durch 1-sin²(x). Dann erhältst du 2sin²(x)-1-sin(x)=0. Setze sin(x)=z, dann erhältst du 2z²-z-1=0. Löse diese quadratische Gleichung und resubstituiere.

Answer 3

Es gilt:(cosx)^2 = 1-(sinx)^2

-> 2*(sinx)^2+sinx-1=0

substituieren:

sinx =z

2z^2 +z-1=0

z^2 +z/2-1/2= 0

pq-Formel:

.....