Dreieck, maximale Fläche

Question

Aufgabe:

Dreieck, oben abgegrenzt durch

Funktion f(x)= 1/8x^3-17/8x^2+35/4x

mit A (a/f(a)) B(0/0) C (a/0) 0<_a<_7 als Eckpunkte des Dreiecks

Fläche A des Dreiecks soll maximal werden.

Problem/Ansatz:

A= 1/2 * a* b

für hinreichende und notwendige Bedingung:

1. Abl. 3/8x^2-17/4x+35/4

2. Abl.3/4x-17/4

Answer 1

Bei einem Expremwertproblem unter nebenbedingung musst du eine Zielfunktion aufstellen. Dafür musst du deine Nebenbedingung(Funktion) in deine Hauptbedingung (Dreieck) einsetzen und diese Funktion dann ableiten und die Extremstelle bestimmen und dann noch das hinreichend Kriterium zur Überprüfung dieser heranziehen. Du hast allerdings nur deine Funktion abgeleitet, dass ist hier entsprechend nicht der richtige Schritt. Liebe grüße :)

Zur Erinnerung: Deine Funktion ist die die höhe des Dreiecks ;)

Answer 2

A=\( \frac{a}{2} \) *[ f(a)] soll maximal werden.

f(x)= \( \frac{1}{8} \)  x^3-\( \frac{17}{8} \) x^2+\( \frac{35}{4} \) x

f(a)= \( \frac{1}{8} \)  a^3 -\( \frac{17}{8} \) a^2+\( \frac{35}{4} \) a

A=\( \frac{a}{2} \) *( \( \frac{1}{8} \)  a^3 -\( \frac{17}{8} \) a^2+\( \frac{35}{4} \) a)

A= \( \frac{1}{16} \)  a^4 -\( \frac{17}{16} \) a^3+\( \frac{35}{8} \) a^2

A´= \( \frac{1}{4} \)a^3 -\( \frac{51}{16} \)a^2+\( \frac{35}{4} \) a

\( \frac{1}{4} \)a^3 -\( \frac{51}{16} \)a^2+\( \frac{35}{4} \) a=0

a*(\( \frac{1}{4} \)a^2 -\( \frac{51}{16} \)a+\( \frac{35}{4} \) )=0

a_1=0

\( \frac{1}{4} \)a^2 -\( \frac{51}{16} \)a+\( \frac{35}{4} \) =0|*4

a^2 -\( \frac{51}{4} \)a+35=0

a_2=4

a_3 =\( \frac{35}{4} \) → kommt nicht in Frage, weil außerhalb des Intervalls

Art des Extremwertes:

A´´= \( \frac{3}{4} \)a^2 -\( \frac{51}{8} \)a+\( \frac{35}{4} \) 

A´´(0)= \( \frac{35}{4} \)>0→Minimum

A´´(4)= \( \frac{3}{4} \)*4^2 -\( \frac{51}{8} \)*4+\( \frac{35}{4} \)=12-25,5+8,75 <0→Maximum

A_max=...