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Willkommen in der Mathelounge...
Die Gesuchte ist eine Funktion dritten Grades:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
Da sie durch den Ursprung geht, können wir \(d\) direkt weglassen, denn$$0\stackrel!=f(0)=d\implies \underline{\underline{d=0}}$$Für \(a\), \(b\) und \(c\) brauchen wir 3 Gleichungen bzw. 3 Bedingungen.
1) Sie geht durch den Punkt \((2|1)\) heißt: \(\qquad\qquad\quad\,\,1\stackrel!=f(2)=8a+4b+2c\)
2) Sie hat bei \(x=1\) eine waagerechte Tangente heißt: \(0\stackrel!=f'(1)=3a+2b+c\)
3) Sie hat bei \(x=3\) eine waagerechte Tangente heißt: \(0\stackrel!=f'(3)=27a+6b+c\)
Du kannst also das Gaußverfahren durchführen mit:
$$\begin{array}{rrr|c|l}a & b & c & = & \text{Aktion}\\\hline 8 & 4 & 2 & 1 &-2\cdot Z_2\\3 & 2 & 1 & 0 & \\27 & 6 & 1 & 0 &-9\cdot Z_2\\\hline 2 & 0 & 0 & 1 &:\,2\\3 & 2 & 1 & 0 &-1,5\cdot Z_1 \\0 & -12 & -8 & 0 & :\,(-4)\\\hline1 & 0 & 0 & 0,5 & \\0 & 2 & 1 & -1,5 &:\,2\\0 & 3 & 2 & 0 &-1,5\cdot Z_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0,5 & \\0 & 1 & 0,5 & -0,75 &-Z_3\\0 & 0 & 0,5 & 2,25 &\cdot\,2\\\hline1 & 0 & 0 & 0,5 &\Rightarrow a=0,5 \\0 & 1 & 0 & -3 &\Rightarrow b=-3\\0 & 0 & 1 & 4,5 &\Rightarrow c=4,5\\\hline\hline\end{array}$$
Die Gesuchte ist also:$$f(x)=\frac{1}{2}x^3-3x^2+\frac{9}{2}x$$
~plot~ x^3/2-3x^2+4,5x ; {0|0} ; {2|1} ; {1|2} ; {3|0} ; 2 ; 0 ; [[-1|5|-3|5]] ~plot~
