Polynom vom Grad 4 angeben, das zwar keine Nullstelle in ℝ besitzt, aber dennoch nicht irreduzibel in ℝ[X] ist

Question

(1) Sei \( K \) ein Körper, und sei \( f \in K[X] \) mit \( \operatorname{grad}(f) \in\{1,2,3\} \). Beweisen Sie, dass \( f \) genau dann irreduzibel in \( K[X] \) ist, wenn \( f \) keine Nullstelle in \( K \) besitzt.

(2) Geben Sie konkret ein Polynom \( f \in \mathbb{R}[X] \) vom Grad 4 an, das zwar keine Nullstelle in \( \mathbb{R} \) besitzt, aber dennoch nicht irreduzibel in \( \mathbb{R}[X] \) ist.

Answer 1

(1) Wenn \(1\leq grad(f)\leq 3\) ist und \(f=g\cdot h\) eine Faktorisierung ist

mit \(grad(g),grad(h)\lt grad(f)\) dann hat man wegen \(2=1+1,3=1+2\) notwendigerweise

\(grad(g)=1\) oder \(grad(h)=1\), also einen abspaltenden Linearfaktor

und damit eine Nullstelle.

(2)  Man nehme \(f=(x^2+1)^2\)