(1) Sei K K K ein Körper, und sei f∈K[X] f \in K[X] f∈K[X] mit grad(f)∈{1,2,3} \operatorname{grad}(f) \in\{1,2,3\} grad(f)∈{1,2,3}. Beweisen Sie, dass f f f genau dann irreduzibel in K[X] K[X] K[X] ist, wenn f f f keine Nullstelle in K K K besitzt.
(2) Geben Sie konkret ein Polynom f∈R[X] f \in \mathbb{R}[X] f∈R[X] vom Grad 4 an, das zwar keine Nullstelle in R \mathbb{R} R besitzt, aber dennoch nicht irreduzibel in R[X] \mathbb{R}[X] R[X] ist.
(1) Wenn 1≤grad(f)≤31\leq grad(f)\leq 31≤grad(f)≤3 ist und f=g⋅hf=g\cdot hf=g⋅h eine Faktorisierung ist
mit grad(g),grad(h)<grad(f)grad(g),grad(h)\lt grad(f)grad(g),grad(h)<grad(f) dann hat man wegen 2=1+1,3=1+22=1+1,3=1+22=1+1,3=1+2 notwendigerweise
grad(g)=1grad(g)=1grad(g)=1 oder grad(h)=1grad(h)=1grad(h)=1, also einen abspaltenden Linearfaktor
und damit eine Nullstelle.
(2) Man nehme f=(x2+1)2f=(x^2+1)^2f=(x2+1)2
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