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Aufgabe:

Bestimmen sie ob die Reihen konvergieren oder divergieren:

(i) ∑[n=0 bis inf] \( \frac{1}{n^2+2} \)

(ii) ∑[n=0 bis inf] \( \frac{2^n}{n!} \)

(iii) ∑[n=0 bis inf] \( \frac{n!}{(e^n)^2} \)

(iiii) ∑[n=0 bis inf] \( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \)


Problem/Ansatz:

(i) \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^2+2}} \)  ≤   \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \) konvergiert, da es sich um eine Harmonische Reihe mit s = 2 handelt. Nach Majorantenkriterium konvergiert also auch \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^2+2}} \).

(ii) Nach dem Quotientenkriterium:

 \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{2(n+1)}{(n+1)!} \) * \( \frac{n!}{2n} \) = ... = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{1}{n+1} \) = 0

, da 0 < 1 konvergiert es absolut.

(iii) Kriege ich leider nich so ganz hin, ein hilfreicher Tipp oder ein Teil der Rechnung wäre schön.

(iiii) Das gleiche wie bei (ii), also Quotientenkriterium und da komme ich auf \( \frac{1}{4} \) also wieder < 1 => konvergiert absolut


Wie gesagt eine ausreichende Hilfestelltung zu (iii) ist gewünscht und falls jemand Zeit hat auch ob die restlichen Teilaufgaben richtig sind.

Avatar von

Hallo,

was Du geschrieben hast, ist richtig - komme jedenfalls zu denselben Ergebnissen.

Bei (iii) schau nochmal auf das Quotientenkriterium und beachte, dass:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \text{   für } n \geq N$$

mit einem geeigneten N bedeutet, das \(a_n \leq a_{n+1} \leq a_{n+2} \cdots\). Also bilden die \(a_n\) keine Nullfolge.

Alternativ kannst Du auch umformen:

$$a_n=\frac{1}{e^2}\frac{2}{e^2}\frac{3}{e^2} \cdots \frac{n-1}{e^2}\frac{n}{e^2}$$.

Man sieht: Die Faktoren werden immer größer.

Gruß

1 Antwort

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Beste Antwort

(iii) Hier bekomme ich den mit dem

Quotientenkrit. den Grenzwert

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{e^2 } $$

und der ist unendlich, also divergent.

bei (i) muss doch noch ne 2 in dem Zähler oder???

Avatar von 289 k 🚀

Majorantenkriterium:

IakI ≤ bk : wenn \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{b_k} \) konvergiert ⇒

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{a_k} \) konvergiert.

So wie ich das verstanden hat "rät" man das b_k und da die Ausrangsreihe der harmonische Reihe sehr ähnlich ist habe ich diese gewählt.

Ja, ist doch OK.

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