Aufgabe:
Bestimmen sie ob die Reihen konvergieren oder divergieren:
(i) ∑[n=0 bis inf] \( \frac{1}{n^2+2} \)
(ii) ∑[n=0 bis inf] \( \frac{2^n}{n!} \)
(iii) ∑[n=0 bis inf] \( \frac{n!}{(e^n)^2} \)
(iiii) ∑[n=0 bis inf] \( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \)
Problem/Ansatz:
(i) \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^2+2}} \) ≤ \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \) konvergiert, da es sich um eine Harmonische Reihe mit s = 2 handelt. Nach Majorantenkriterium konvergiert also auch \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^2+2}} \).
(ii) Nach dem Quotientenkriterium:
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{2(n+1)}{(n+1)!} \) * \( \frac{n!}{2n} \) = ... = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{1}{n+1} \) = 0
, da 0 < 1 konvergiert es absolut.
(iii) Kriege ich leider nich so ganz hin, ein hilfreicher Tipp oder ein Teil der Rechnung wäre schön.
(iiii) Das gleiche wie bei (ii), also Quotientenkriterium und da komme ich auf \( \frac{1}{4} \) also wieder < 1 => konvergiert absolut
Wie gesagt eine ausreichende Hilfestelltung zu (iii) ist gewünscht und falls jemand Zeit hat auch ob die restlichen Teilaufgaben richtig sind.
