Woher weiß ich, welche Basis ich nehmen soll?

Question

Aufgabe:

Sei V der 6-dimensionale Q-Vektorraum der rationalen Polynome vom
Grad ≤ 5 mit Basis (1; x; x²; .... ; x⁵). Sei (Φ₀; Φ₁; : : : ; Φ₅) die duale Basis in V*. Schreiben
Sie die folgenden Linearformen V→ Q als Linearkombination der dualen Basis:
a) p ↦ p(3);
b) p ↦ ₀∫¹ p(t)dt
c) p ↦ ₀∫¹ t²p(t)dt
d) p ↦ p'(5).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe folgendes nicht: ich soll zB p(3) als eine Linearkombination der Basen angeben. Aber welche Basis soll ich denn dann nehmen?? Φ₀ ? Ich lerne gerade den halben Tag schon darauf, aber ich hab bisher nichts hilfreiches gefunden...

Comments

Hallo,

damit wir nicht aneinander vorbeireden: Wir habt Ihr allgemein die duale Basis zu einer gegebenen Basis definiert? Habt Ihr dazu noch irgendeine Info hergeleitet?

Gruß

---

nur die standarddefinition mit dem kronecker symbol

Answer 1

Hallo,

sei \((b_0, \ldots, b_6)\) eine Basis im Vektorraum V und \((d_0, \ldots, d_6)\) die zugehörige duale Basis (ich schreibe d statt \(\Phi\)); dann gilt für ein beliebiges \(v \in V\):

$$d_k(v)=d_k(\sum_{i=0}^6 s_ib_i)= \sum_{i=0}^6s_i d_k(b_i) =\sum_{i=0}^6s_i \delta_{k,i}=s_k$$

Das heißt die Elemnte der dualen Basis bilden ein Elemnt v auf die entsprechende Koordinate ab.

Zu a). Wir habe das Funktional \(f(p):=p(3)\), d.h.

$$p(x)=\sum_{i=0}^6s_ix^i  \mapsto \sum_{i=0}^6s_i 3^i =\sum_{i=0}^6 d_i(p) 3^i $$

Also liest man ab:

$$f=\sum_{i=0}^6 3^i d_i$$

Die anderen Aufgaben gehen analog.

Gruß

Comments

vielen lieben dank!!!