Aufgabe mit PQ-Formel

Question

Ich sitze an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter!
 

Von einem Quader ist bekannt,:Volumen 528cm³, 11cm höhe, mantelfläche (aus den 4 seitenflächen) 308cm². Wie lang sind die Seiten der Grundfläche ?

Über eine Lösug wäre ich echt dankbar !!!

Answer 1

Fertige eine Skizze an!

Seien a,b und c die Kantenlängen des Quaders, wobei c = 11 cm dessen Höhe ist.

Dann muss gelten: 

Volumen = a * b * c = 528

mit c = 11:

a * b * 11 = 528

<=> a * b = 528 / 11 = 48 cm ²

Die Grundfläche des Quaders hat also einen Flächeninhalt von 48 cm ²

 

Von den vier Seitenflächen, die den Mantel des Quaders bilden sind die sich jeweils gegenüberliegenden gleich groß. Die beiden verschiedenen Seitenflächen haben die Maße:

a * c

bzw. 

b * c

Für den Inhalt der Mantelfläche gilt also:

M = 2 * a * c + 2 * b * c = 308 cm ²

mit c = 11:

22 * a + 22 * b = 308

<=> a + b = 308 / 22 = 14

Man hat nun also die beiden Gleichungen

a * b = 48
a + b = 14

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich:

b = 14 - a

Einsetzen in die erste Gleichung ergibt:

a * ( 14 - a ) = 48

<=> 14 a - a ² = 48

<=> a ² - 14 a = - 48

<=> a ² - 14 a + 49 = - 48 + 49 = 1

<=> ( a - 7 ) ² = 1

<=> a - 7 = ± √ 1

<=> a = 7 ± 1

<=> a = 6 oder a = 8

Für a = 6 ergibt sich:

b = 14 - a = 14 - 6 = 8

und für a = 8 ergibt sich:

b = 14 - a = 14 - 8 = 6

Da a und b die Längen der Kanten der Grundfläche sind, ist also die Lösung der Aufgabe:

Eine der Grundflächenkanten ist 6 cm lang, die andere ist 8 cm lang.