Übergangsmatrix! Farbwechsel bei Generationenwechsel von Blumen.

Question

Matrizenaufgabe:

In der landwirtschaftlichen Versuchsanstalt Eichhof werden auf einem Feld rote, gelbe und blaue Blumen gezüchtet (R, G, B), die eine erstaunliche Eigenschaft haben. Sie können bei jedem Generationechsel inre Farbe wechseln. Eine Auszählung ergibt, dass der Farbwechsel nach der abgebildeten Tabelle erfolgt.

nach / von:	R	G	B
R	0,5	0,2	0,3
G	0,2	0,6	0,3
B	0,3	0,2	0,4

a) Erläutern Sie das Übergangsverhalten. Stellen Sie die Übergangsmatrix M auf. Welche Eigenschaften hat eine stochastische Matrix? Begründen Sie, dass M eine solche Matrix ist.

b) Anfangs lag folgende Verteilung vor: R: \( 50 \%, \) G: \( 30 \% \) \( \mathrm{B}: 20 \% \). Berechnen Sie die Verteilung in den beiden Folgegenerationen.

c) Welche Verteilung der Farben \( \mathrm{R}, \mathrm{G}, \mathrm{B} \) stellt sich langfristig ein? (Hinweis: Berechnen Sie den Fixvektor von M.)

d) In einer Generation gilt: Rot: \( 35 \%, \) Gelb: \( 35 \%, \) Blau: \( 30 \% \). Welche Verteilung lag in der vorherigen Generation vor? (Hinweis: Berechnen Sie die inverse Matrix M \( ^{-1} \) ).

e) Nach einiger Zeit lindern die gelben Blumen plötzlich ihr Übergangsverhalten. Sie behalten beim Generationenwechsel ihre Farbe nur noch in \( 20 \% \) der Fälle. Zur roten Farbe wechseln sie überhaupt nicht mehr. Stellen Sie die neue Übergangsmatrix N auf. Ist die Befürchtung gerechtfertigt, dass die gelben Blumen ganz vom Feld verschwinden könnten?

Answer 1

Hallo Anes,

es ist sehr spät, deshalb bearbeite ich nur einen Teil der Aufgaben (melde Dich dann bitte nochmals mit einem Kommentar, damit ich morgen den Rest angehe):

a)

Die Übergangsmatrix M sieht genau so aus wie die abgebildete Tabelle oben rechts ("von/nach"), allerdings ohne die Randbeschriftungen und mit einer großen Klammer um die neun Zahlen.

Erläuterung des Übergangsverhaltens:

Rote Blumen bekommen in 50% der Fälle roten Nachwuchs, in 20% der Fälle gelben Nachwuchs und in 30% der Fälle blauen Nachwuchs.
Gelbe Blumen bekommen in 20% der Fälle roten Nachwuchs, in 60% der Fälle gelben Nachwuchs und in 20% der Fälle blauen Nachwuchs.

Blaue Blumen bekommen in 30% der Fälle roten Nachwuchs, in 30% der Fälle gelben Nachwuchs und in 40% der Fälle blauen Nachwuchs.

Stochastische Matrix:

Die Spaltensumme muss jeweils 1 betragen, d.h. es kommt von einer Phase zur nächsten Phase (von einer Generation zur nächsten) nichts hinzu, und es verschwindet auch nichts.

Dies ist hier gegeben, weil 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1 und 0,2 + 0,6 + 0,2 = 1 und 0,3 + 0,3 + 0,4 = 1

b)

Hier notiert man die angegebene Verteilung (0,5|0,3|0,2) als Spaltenvektor und multipliziert die Übergangsmatrix mit diesem Vektor.

Also multipliziert man eine 3*3-Matrix mit einer 3*1-Matrix und erhält eine 3*1-Matrix als Ergebnis: Wieder einen Spaltenvektor, der die Verteilung in der nächsten Generation angibt.

Dann multipliziert man die Übergangsmatrix mit diesem neuen Spaltenvektor und erhält damit die Verteilung in der übernächsten Generation.

Aber es ist - wie eben schon geschrieben - spät; deshalb folgt der Rest am Mittwoch oder Donnerstag, wenn man mich daran erinnert :-)

Besten Gruß

Comments

Ich hoffe, ich kann Ihnen hiermit ein wenig helfen:

Die alte Übergangsmatrix lautete

	R	G	B
R	0,5	0,2	0,3
G	0,2	0,6	0,3
B	0,3	0,2	0,4

Die neue Übergangsmatrix - gemäß Teilaufgabe e) - lautet

	R	G	B
R	0,5	0 (kein Wechsel mehr zu Rot)	0,3
G	0,2	0,2 (Farbe behalten in 20%)	0,3
B	0,3	0,8	0,4

Immer wenn ich weiterklicke, verschwindet die Hälfte meiner Übergangsmatrix - ich speichere mal, um zu sehen, was dann passiert :-)

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O.k. - das hat ja nochmal gut gegangen :-D

 

Diese Matrix - nennen wir sie M - kann man mehrmals mit sich selbst multiplizieren, um zu sehen, was dann geschieht:

 

Gehen wir zum Beispiel von der Verteilung aus d) aus: (35|35|30) und schauen, wie sich diese Verteilung gemäß der neuen Übergangsmatrix innerhalb von 1000 Generationen entwickelt:

M¹⁰⁰⁰ =

	R	G	B
R	0,28235	0,28235	0,28235
G	0,24706	0,24706	0,24706
B	0,47059	0,47059	0,47059

 

Dies multipliziert mit (35|35|30) ergibt eine stabile Verteilung (diese Stabilität sieht man daran, dass sich die Übergangsmatrix M¹⁰⁰⁰ aus drei identischen Spaltenvektoren zusammensetzt) von

(28,23529|24,70588|47,05882)

Auf lange Sicht kann man also auch nach Veränderung des Übergangsverhaltens der gelben Blumen erwarten, dass

etwas mehr als 28,2% der Blumen die rote Farbe haben werden,

etwas mehr als 24,7% der Blumen die gelbe Farbe haben werden und

etwas mehr als 47% der Blumen die blaue Farbe haben werden.

 

Also: Keine Gefahr für den Bestand an gelben Blumen :-)

 

Ich hoffe, ich konnte ein wenig helfen!

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Danke, dass einzige was ich nicht verstehe ist bei der neuen Matrix wieso von Gelb nach Gelb 20 % sind ist klar, aber von Blau nach Gelb sind es 0,8 ( auch klar weil eine Spalte ja 1 ergeben muss und das die Differenz ist) .
Aber ich fände es logischer wenn dann von Blau nach Blau auch nur 0,2 wären und wieso sind da jetzt 0,4 ?

Im Text steht ja, dass sie beim Wechsel nur noch zu 20 % ihre Farbe behalten.
Wieso dann 0,4 ?

Lg


Achja und von Blau nach rot müsste doch auch 0 sein oder? Weil zu rot ja gar nicht mehr gewechselt wird ..

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Ich habe die Matrix inzwischen verstanden und kann alles nachvollziehen. Hatte nicht bedacht, dass sich das nur für die gelben Blumen ändert.

Zu der Verteilung habe ich eine Frage : Ist es egal welche ich da nehme ? Also hätte ich auch die aus a ) nehmen können ?

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Freut mich, dass Du es verstanden hast, prima!

Du hättest jede beliebige Verteilung nehmen können - bei 1000maligem Anwenden der neuen Übergangsmatrix sollte immer das gleiche Ergebnis herauskommen.

Spielen wir das mal mit einer sehr extremen Verteilung durch:

(1|1|98)

Wir multiplizieren M¹⁰⁰⁰ mit diesem Vektor und erhalten fast das gleiche Ergebnis wie oben:

(28,235|24,706|47,059)

Irgendwie erstaunlich, nicht wahr?

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Kann mir jemand bei Aufgabe c) noch helfen?

"Welche Verteilung der Farben R, G, B stellt sich langfristig ein?"

Ich habe versucht, den Fixvektor mit lgs zu berechnen, jedoch scheint das Ergebnis nicht richtig zu sein.

Kann mir jemand diese Aufgabe einmal vorrechnen, damit ich das mit meiner Rechnung abgleichen bzw. das Ganze richtig nachvollziehen kann?

Ich wäre sehr dankbar!

Hier noch mal die Matrix M:

0,5     0,2     0,3

0,2     0,6     0,3

0,4     0,2     0,4

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Die Übergangsmatrix ist falsch.

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Oh tut mir Leid, also noch mal:

Die Matrix M lautet:

0,5    0,2    0,3

0,2    0,6    0,3

0,3    0,2    0,4

Auf meinem Zettel hatte ich es aber richtig, daran liegt die Fehlerhaftigkeit leider nicht.

Answer 2

c)

Für eine stabile Grenzverteilung gilt

M * v = v
Spaltensumme von v ist 1

Stelle damit das Gleichungssystem auf was gelten muss und löse es:

0.5·x + 0.2·y + 0.3·z = x
0.2·x + 0.6·y + 0.3·z = y
0.3·x + 0.2·y + 0.4·z = z
x + y + z = 1

Wenn du das jetzt löst solltest du auf folgende Lösung kommen: x = 18/55 ∧ y = 21/55 ∧ z = 16/55

Damit ist [18/55; 21/55; 16/55] = [0.3273; 0.3818; 0.2909] ein Fixvektor.