Kommutativ / Distributiv: Standardvektorraum K^n über K. Zeige für alle v,w∈V: v*w =w*v, (und v⊥w =w⊥v?)

Question

Ich habe Schwierigkeiten mit folgenden Aufgaben:

Sei n ∈ ℕ und = Kⁿ der Standardvektorraum über einem Körper K. Zu zeigen ist nun:

1) für alle v, w ∈ V:  v * w = w * v, (gilt das dann auch für v⊥w =w⊥v ?)

2) für alle a ∈ K und u,v,w ∈ V: (au + v) * w = a * (u * w) + (v*w)

Versteh nicht warum das nicht gelten sollte, noch wie man sowas zeigt.

Kann ja schlecht schreiben v*w = w*v weil kommutativ....

Comments

Weitere Teilaufgaben vielleicht inzwischen hier: https://www.mathelounge.de/79566/korper-standardskalarprodukt-dem-vektorraum-ist-abbildung?show=82115#c82115

Answer 1

Kann ja schlecht schreiben v*w = w*v weil kommutativ....

Nach Definition aufdröseln und dann Assoziativität und Kommutativität in K benutzen.

v*w= v1w1+v2w2+v3w3+…+vnwn | Kommutativität in K
= w1v1 + w2v2+...+vnwn = w*v       qed. (1)

(gilt das dann auch für v⊥w =w⊥v ?)

v⊥w <=> v*w=0 

0= v*w= v1w1+v2w2+v3w3+…+vnwn | Kommutativität in K

= w1v1 + w2v2+...+vnwn = w*v=0    Also w⊥v .  

(2)

(au+v)(w)= (au1 + v1)w1 + (au2 + v2)w2 +...(aun+vn)wn      |Distributivität in K

= au1w1 + v1w1 + au2w2 + v2w2 +....+ aunwn + vnwn         |komm. und distr. in K

=a(u1w1 + u2w2+..+unwn) + (v1w1 + v2w2+...+ vnwn)

=a(u*v) + v*w  qed (2)
Vorausgesetzt und benutzt: a ist ein Element von K (kein Vektor).
Daher kannst du nicht von Assoziativität sprechen. Es geht hier bei (2) um Distributivität.

Comments

:D vielen Dank.

Ist aber doch wirklich nur umgedreht... kann ich auch schreiben v*w =[Komm. in K] = w*v?

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Die Meinung ist schon, dass du das ausschreibst. Weil ihr die Gesetz in K kennt.