Grenzwertberechnung für e-Funktion als Lösung

Question

Aufgabe:

leider hänge ich immer wieder bei Grenzwertaufgaben, die offensichtlich eine e-Funktion als Lösung haben.

Mir ist bekannt das (1 + \( \frac{x}{n} \))ⁿ = e ^x

Allerdings komme ich nie auf den Lösungsansatz um die Aufgabe dahingehend umzuformen.

Problem/Ansatz:

Anhand folgender zwei Beispiele wäre ich euch sehr verbunden wenn mir jemand auf den richtigen Weg helfen könnte.

lim n→∞ (\( \frac{n-1}{4+n} \))²ⁿ⁺¹

^und

lim n→∞ (\( \frac{n-7}{n+2} \))^-2n

Answer 1

Hallo,

ich rechne mal die erste: Zunächst forme ich den Bruch so um, dass die Gestalt 1+ ... habe:

$$\left( \frac{n-1}{n+4} \right)^{2n+1}=\left( \frac{n+4-5}{n+4} \right)^{2n+1}=\left(1+ \frac{-5}{n+4} \right)^{2n+1}$$

Dann mache ich den Exponenten dazu passend, d.h. ich möchte einen Term n+4 haben:

$$=\left(1+ \frac{-5}{n+4} \right)^{2(n+4)-7}=\left[\left(1+ \frac{-5}{n+4} \right)^{n+4}\right]^2 \left(1+ \frac{-5}{n+4} \right)^{-7}$$

Der Term in der eckigen Klammer liefert jetzt nach Deiner Formel den Grenzwert \(e^{-5}\) - dabei ist es egal, ob n gegen \(\infty\) läuft oder n+4. Das Quadrat an der eckigen Klammer liefert daraus \(e^{-10}\). Der zweite Faktor geht natürlich einfach gegen 1.

Gruß

Comments

Hallo,

danke ihr habt mir sehr weitergeholfen.

Gruß

Answer 2

Hallo ,

Aufgabe 1)

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Comments

Hätte noch eine Frage zu dieser Thematik, seit dem waren die Aufgaben in der Regel kein Problem, allerdings bereitet mir eine Sache noch Schwierigkeiten und zwar wenn im Zähler ein positives n und im Nenner ein negatives n auftauchen.

Als Beispiel:

(\( \frac{n+7}{5-n} \))^4n-1

Dafür habe ich zwei Lösungen:

e²⁴  und -e^-8

^{Stimmt von oben genannten eines?}

^{Leider konnten mit die Onlinerechner nicht weiterhelfen, die meinten jeweils nicht definierbar...}

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Könnte mir jemand bestätigen das es -e^-6 ist?

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Hallo,

ich sehe da eher \(-e^{48}\) als Grenzwert?

Gruß