Extremwert Dreieck Kegel

Question

Aufgabe:

Ein gleichschenkeliges Dreieck, gebogen von einem Draht der Länge 12 cm, beschreibt bei Drehung um die Höhe zur Grundlinie den inhaltsgrößten Kegel. Berechne die Seiten!

Problem/Ansatz:

Leider konnte ich bei dieser Aufgabe die Haupt bzw. Nebenbedingungen nicht verstehen können

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Das Dreieck hat die Schenkel s und die Basis b , also

gilt 2s+b = 12 bzw. b=12-2s . Die Höhe auf der Basis ist h.

Also s^2 = (b/2)^2  + h^2     (Pyth!)

==>   s^2 = (6-s)^2 + h^2

==>  s^2 - (6-s)^2 = h^2

==>  h = √(12s-36)

Bei der Rotation entsteht ein Kegel

mit der Höhe h und dem Grundkreisradius r = b/2 = 6-s also

Volumen = (1/3) *r^2 * pi * h

 ==>    V(s)    = (1/3) * (6-s)^2 * pi * √(12s-36)

und nun das Max. bestimmen mit V ' (s) = 0 etc.

Ich bekomme s=3,6cm.

Answer 2

Haupbedingung ist die Formel für das was maximal oder minimal sein soll, also:

den inhaltsgrößten Kegel

\(V = \frac{1}{3}\pi r^2\cdot h\).

Dreieck ... beschreibt bei Drehung um die Höhe zur Grundlinie den ... Kegel

Oder anders formuliert, das Dreieck ist die Schnittfläche wenn man den Kegel senkrecht in zwei gleiche Teile teilt.

Die 12 cm setzen sich also zusammen aus dem Durchmesser des Kegels und dem Doppelten der Seitenlinie.

        \(12 = 2\cdot s + d\)

Teilt man diese Gleichung durch 2 bekommt man

(1)        \(6 = s + r\).

Außerdem gilt

(2)        \(h² = s^2 + r^2\).

Löse (1) nach \(s\) auf, setze das Ergebnis in (2) ein. Die entstande Gleichung kannst du verwenden um in der Hauptbedingung eine Variable zu eliminieren.